En Álgebra abstracta, si tenemos un conjunto
en el que se ha definido una operación matemática
, que anotamos:
, siendo la operación
, interna en
:
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460b69c33c8d0a173b8d927f1c02f59409439fff)
Con elemento neutro
![{\displaystyle \exists \,e\in A\;,\quad \forall a\in A\;:\quad a\circledcirc e=e\circledcirc a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8a040d91362e38d063cfcc8a0235702f648f2d)
Se dice que un elemento
tiene:
elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;:\quad {\overrightarrow {a}}\circledcirc a=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047feeb31a86ba59f55e7f4903795e69364ed9b0)
elemento simétrico por la derecha respecto de la operación
si:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;:\quad a\circledcirc {\overleftarrow {a}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46671d8ae7c4a48ac61d8b7f4dbc9b46f3c86fc)
elemento simétrico respecto de la operación
si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
![{\displaystyle a\in A\;,\quad \exists {\bar {a}}\in A\;:\quad {\bar {a}}\circledcirc a=a\circledcirc {\bar {a}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab4344c8b7851be46674eb7dc27d7ecad21ef73)
Un elemento simétrico
de
es simétrico por la derecha del elemento
y simétrico por la izquierda del elemento
.
Notación aditiva[editar]
Cuando la operación se denota por "+" (se lee "más"), se denomina suma o adición.
La suma en el conjunto de los números enteros:
,
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\oplus :&\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\oplus b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7407e0dc4b82dcd208a38557d5d74f29c14f79e5)
es interna:
![{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus b\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a186042295821f07bebb5d575bf3e640a687d7b)
En este caso al elemento neutro se denomina cero y se denota por "0",
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists 0\in \mathbb {Z} \;:\quad a\oplus 0=0\oplus a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6943f8b2b46195cdbe9bb321b640032633cd535)
El elemento simétrico de
se denomina elemento opuesto de
y se denota por:
.
Para dicho conjunto de números entero la operación suma:
, tenemos que:
![{\displaystyle a\in \mathbb {Z} \;,\quad \exists (-a)\in \mathbb {Z} \;:\quad (-a)\oplus a=a\oplus (-a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6dcd5834cc7bb21fbd99e0d1486accb068c6403)
Notación multiplicativa[editar]
Cuando la operación se denota por "·" (se lee "por"), se denomina producto o multiplicación.
La multiplicación en el conjunto de los números racionales:
,
![{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\odot :&\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} &\longrightarrow &\mathbb {Q} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c634c6c8a3c00cb9bb7f248233f8095af39c246d)
es interna:
![{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot b\in \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e08f6a6f75ab32d7d831942ac4ddb131c9f54639)
En este caso al elemento neutro se denomina uno o unidad y se denota por "1":
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad \exists 1\in \mathbb {Q} \;:\quad a\odot 1=1\odot a=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4c5812502ae055083fd68e34a546b837d680db)
El elemento simétrico de
se denomina elemento inverso de
y se denota por
o por
Para dicho conjunto de números racionales la operación multiplicación cumple:
![{\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} \;,\quad a\neq 0\;,\quad \exists {\frac {1}{a}}\in \mathbb {Q} \;:\quad {\frac {1}{a}}\odot a=a\odot {\frac {1}{a}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ed5012245e2ac980d13b3c04b251d6926986323)
Véase también[editar]
Véase también[editar]