Convexidad logarítmica

En matemáticas, una función $f$ definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es logarítmicamente convexa si $\log f(x)\,$ es una función convexa de $x\,$.

Una función logarítmicamente convexa $f\,$ es convexa, porque es composición de dos funciones convexas, $\exp \,$ y $\log f\,$. La afirmación recíproca no siempre es cierta. Por ejemplo, $f(x)=x^{2}$ es convexa, pero $\log f(x)=\log x^{2}=2\log |x|\,$ no es convexa, y por tanto $f(x)=x^{2}\,$ no es logarítmicamente convexa. Sin embargo, $f(x)=e^{x^{2}}$ sí es logarítmicamente convexa, pues $\log e^{x^{2}}=x^{2}\,$ es convexa. Otro ejemplo de función logarítmicamente convexa es la función gamma, restringida a los reales positivos (ver también el teorema de Bohr-Mollerup).

Referencias

Bibliografía

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Kingman, J.F.C. 1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.

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• Datos: Q3610230