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Inteligencia lógico-matemática: características, ejemplos y actividades para mejorarla

Tradicionalmente, la inteligencia lógico-matemática, junto a la lingüística, se han considerado representativas del concepto de inteligencia en general. Es por ello que han predominado en el sistema educativo formal y el ambiente académico. Este tipo de inteligencia es de gran complejidad y va mucho más allá de las matemáticas. Además, implica la capacidad de razonamiento y establecimiento de relaciones, entre otras. Si quieres descubrir más sobre esta inteligencia, no dejes de leer este artículo: Inteligencia lógico-matemática: características, ejemplos y actividades para mejorarla.

Qué es la inteligencia lógico-matemática

La inteligencia lógico-matemática es una de las ocho inteligencias identificadas por el psicólogo Howard Gardner en su Teoría de las Inteligencias Múltiples. Esta nueva concepción del intelecto desafió el concepto de unidad en la inteligencia, prevalente en el sistema académico occidental.

Definición

¿Qué es la inteligencia lógico-matemática? La inteligencia lógico-matemática es la capacidad para utilizar los números de manera efectiva, así como aplicar el análisis y el razonamiento de manera adecuada. Esta inteligencia se relaciona con el pensamiento abstracto y científico y engloba tanto la habilidad matemática como la capacidad lógica.

Las matemáticas estudian la abstracción, las relaciones y operaciones numéricas, mientras que la lógica hace referencia a los procesos de análisis y razonamiento. Ambas habilidades están íntimamente relacionadas, sin embargo, no son indisociables. Por lo que una persona puede presentar una habilidad lógica bastante superior a la matemática y viceversa. La inteligencia lógico-matemática constituye una habilidad compleja y se compone de los cálculos matemáticos, el pensamiento lógico, el razonamiento inductivo y deductivo, la resolución de problemas, la identificación de patrones y relaciones, el planteamiento y la verificación de hipótesis.

La inteligencia lógico-matemática se manifiesta desde la infancia, dado que se ha corroborado la existencia de un sentido innato de cantidad y estimación temprano. Posteriormente, se adquiere el pensamiento lógico, abstracto y matemático mediante el aprendizaje. Esta capacidad involucra competencias tanto lingüísticas, visoespaciales, de planificación, como de memoria de trabajo. La complejidad competencial de esta inteligencia explica que su localización cerebral se ubique en diversas áreas de ambos hemisferios, entre ellas el lóbulo parietal izquierdo, las áreas temporales y occipitales de asociación, así como el lóbulo frontal.

Características

Las personas con un alto desarrollo de esta inteligencia presentan generalmente una serie de características. A continuación listamos las principales características de la inteligencia lógico-matemática:

• Dominio de las nociones de cantidad, tiempo y causa y efecto.
• Habilidad para hallar una solución de tipo lógica a los problemas. Este proceso de resolución puede ser muy rápido.
• Manejo con lo numérico en general y las operaciones matemáticas.
• Elevadas habilidades para el análisis y el razonamiento.
• Disfrutan de la realización de experimentos y extracción de conclusiones a partir de ellos.
• Capacidad para formular y verificar distintas hipótesis.
• Habilidad para trazar relaciones y conexiones entre diferentes elementos, lo que se relaciona con su alta capacidad de clasificación y categorización.
• Facilidad en la estimación y memoria de diferentes signos numéricos.
• Suelen recurrir al uso de listas y esquemas en la organización de la información.
• Presentan curiosidad acerca de los fenómenos naturales y en su día a día, realizando una investigación, deducciones y búsqueda de soluciones o respuestas.
• Son personas que generalmente presentan un pensamiento racional y una metodología científica que aplican también en su vida diaria, en la toma de decisiones etc.
• La gente con este tipo de inteligencia suele ser organizada, metódica, con capacidad de planificación y de resolución de problemas de la vida cotidiana. También se caracterizan por ser curiosas e inquisitivas.
• Habilidad para el cálculo mental y monetario.
• Facilidad e interés por la resolución de puzzles, rompecabezas, problemas y desafíos mentales.
• Buen desempeño en juegos de habilidad que implican estrategia.
• Desarrollo de la metacognición, es decir, de la conciencia, supervisión y control sobre los procesos de pensamiento y aprendizaje, así como sobre el propio rendimiento y desempeño de ellos. Esta capacidad metacognitiva facilita la detección de errores propios y la extracción del máximo rendimiento de las habilidades cognitivas.

Profesiones

Por las características de la inteligencia lógico matemática, los oficios que se asocian con esta capacidad son aquellos del campo de la ingeniería, la economía, la ciencia y la investigación, la matemática, la física, la química, la contabilidad, etcétera.

Ejemplos

Para comprender mejor la inteligencia lógico-matemática, presentaremos ejemplos. Algunas personas han destacado a lo largo de la historia por su extrema inteligencia lógico-matemática son las siguientes:

Katherine Johnson, Dorothy Vaughan y Mary Jackson: fueron un grupo de mujeres afroamericanas matemáticas. Sus cálculos en la NASA fueron decisivos para la llegada a la Luna. Los problemas y las operaciones las realizaron casi en su totalidad a mano, por lo que fueron apodadas como “ordenadores humanos”. Además, tuvieron que enfrentarse constantemente a las dificultades de ser mujeres y negras en el mundo de la ciencia.

Sofia Kovalévskaya: fue una matemática rusa de etnia gitana. Realizó grandes contribuciones al campo del análisis, la mecánica y las ecuaciones. Fue la primera mujer en lograr una plaza como profesora universitaria en Europa, en el año 1881.

Alan Turing: fue un matemático británico, considerado uno de los precursores de la informática. Trabajó durante la segunda guerra mundial en el desciframiento de los códigos nazis, gracias a lo que se estima que se acortó la duración de este período bélico entre dos y cuatro años. Asimismo, realizó grandes contribuciones en el campo de la inteligencia artificial.

En cuanto a ejemplos cotidianos, las personas con esta inteligencia presentan una habilidad para calcular el coste de la compra o cuánto debe ser el cambio al pagar, así como son capaces de realizar con facilidad listas y la planificación de la agenda.

Actividades

La inteligencia lógico-matemática no sólo es útil en el campo académico y de la ciencia, sino que facilita la capacidad de desenvolverse en el mundo, así como de entenderlo. Dada la necesidad de estimulación de esta capacidad, es interesante saber cómo desarrollar la inteligencia lógico-matemática en adultos. A continuación te presentamos una serie de actividades para desarrollar el pensamiento lógico-matemático y juegos para potenciar la inteligencia lógico-matemática:

Realizar puzzles y rompecabezas: estas actividades no deberían limitarse únicamente a la etapa de la infancia. Actualmente existen una gran variedad de juegos para potenciar la inteligencia lógico-matemática dirigidos a la edad adulta que pueden ayudar en la estimulación y mantenimiento de esta capacidad.

Usar esquemas y listas en el día a día: empezar a hacer uso de estos recursos tanto en la organización y planificación del día a día, de las tareas, como en el proceso de toma de decisiones, fomenta el desarrollo de un pensamiento más lógico-matemático.

Realizar visitas científicas: acudir a lugares como museos u observatorios pueden promover el interés y el aprendizaje por este campo.

Hacerse preguntas: otro de los ejercicios para desarrollar la inteligencia lógico-matemática es plantearse preguntas acerca de una serie de fenómenos del día a día o del funcionamiento de ciertos objetos acerca de los que jamás hemos reflexionado debido a su cotidianeidad. Se pueden realizar una serie de hipótesis y posteriormente buscar información sobre ellos.

Descubrir: el aprendizaje mediante descubrimiento también es recomendable para el estímulo de esta inteligencia. Un ejemplo de ello sería intentar intuir el funcionamiento de un objeto, desmontarlo posteriormente y realizar un análisis de sus piezas.

Reflexionar: actualmente en la era de la información es habitual plantearse una pregunta pero no pararse a pensar sobre ello, ya que podemos buscar la respuesta en segundos a través de la tecnología. Es positivo reflexionar unos minutos acerca de aquello que nos hemos planteado, intentar intuir la respuesta, trazar relaciones o conexiones con el conocimiento que ya poseemos, y establecer mentalmente una serie de hipótesis o deducciones antes de averiguar la solución por otros medios.

Calcular: hacer el esfuerzo por realizar y enfrentar pequeños cálculos del día a día mentalmente, como el precio de la compra y el valor del cambio, la distancia recorrida en kms a lo largo de un día, cuánto tiene que pagar cada persona en una cena de grupo, etc son ejercicios que ayudan a desarrollar la inteligencia lógico-matemática.

Desarrollar la curiosidad: fomentar la curiosidad por los acontecimientos diarios, así como buscar los conceptos o ideas del campo lógico-matemático que aparezcan en conversaciones o lecturas para incorporarlos a nuestro conocimiento.

Realizar juegos lógicos y/o matemáticos: actualmente existen un gran número de juegos de mesa que promueven el desarrollo de esta capacidad, así como juegos de estrategia y de lógica. Además, son una buena elección, ya que existen opciones tanto individuales como colectivas. Jugar con otras personas puede resultar más amenos en diversas ocasiones, así como posibilita aprender de otras personas. Hoy en día también existen una gran cantidad de escape rooms, en las que de manera grupal deben resolverse una serie de acertijos y problemas de lógica. Aquí encontrarás juegos para mejorar la memoria.

Referencias

• Ferrándiz, C., Bermejo, R., Sainz, M., Ferrando, M., & Prieto, M. D. (2008). Estudio del razonamiento lógico-matemático desde el modelo de las inteligencias múltiples. Anales de Psicología/Annals of Psychology, 24(2), 213-222.​
• Gardner, H. (2003). Intelligence in seven steps. New Horizons For Learning, Creating the Future.​
• Serra-Grabulosa, J. M., Adan, A., Perez-Pamies, M., Lachica, J., & Membrives, S. (2010). Neural bases of numerical processing and calculation. Revista de neurologia, 50(1), 39-46.​

Aritmética modular:

Proposiciones básicas

Proposición 1

Sean a,b,c∈Z. Entonces

1. Reflexividad:  a≡a (mod n).
2. Simetría: Si  a≡b (mod n), entonces b≡a (mod n).
3. Transitividad: Si  a≡b (mod n)y b≡c (mod n), entonces a≡c (mod n).

Es decir, la congruencia ≡ es una relación de equivalencia.

===== DEMOSTRACIÓN =====

1. Se sabe que n|0 y 0=a−a. Por lo tanto; n|(a−a), que implica a≡a (mod n). 2. Por hipótesis, se sabe que a≡b (mod n). Esto implica que n|(a−b). Por otro lado, si n|y entonces n|(−y) (con y∈Z). Bajo esta consideración, n|(b−a); lo que implica b≡a (mod n). 3. Por hipótesis, se sabe que a≡b (mod n) y b≡c (mod n). Por lo tanto, existen únicos k,t∈Z tales que nk=a−b y nt=b−c. Sumando estas dos igualdades, se obtiene n(k+t)=a−c. Esto implica a≡c (mod n).

Proposición 2.

Sean a,b,c,d,λ∈Z y n∈N tales que a≡b (mod n) y c≡d (mod n). Entonces

1. λa≡λb (mod n).
2. a+c≡b+d (mod n).
3. ac≡bd (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Como a≡b (mod n) y c≡d (mod n), entonces existen únicos k,t∈Z tales que nk=a−b y nt=c−d. Como nk=a−b, podemos multiplicar por λ (entero). Así, n(λk)=λa−λb. Esto implica λa≡λb (mod n). Por otro lado, sumando nk=a−b y nt=c−d, se obtiene n(k+t)=(a+c)−(b+d). Esto implica a+c≡b+d (mod n). Multiplicando por c, la expresión nk=a−b; se consigue nkc=ac−bc. Si se multiplica por b, la expresión nt=c−d; se consigue ntb=cb−db. Al sumar estas cantidades, se logra n(kc+tb)=ac−bd. Esto implica ac≡bd (mod n).

Proposición 3.

Sean a,b∈Z y n,k∈N, tales que a≡b (mod n). Entonces ak≡bk (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

La demostración de esta proposición se realizará por Inducción. Considere la función proposicional p(k):ak≡bk (mod n), con k,n∈N y a,b∈Z. p(1) es verdadero; pues por hipótesis, a≡b (mod n). Considere la hipótesis de inducción p(k):ak≡bk (mod n). Por demostrar p(k+1):ak+1≡bk+1 (mod n) es verdadero. En efecto ak+1≡ak⋅a≡bk⋅a≡bk⋅b≡bk+1 (mod n), por hipótesis de inducción y transitividad de la congruencia. Por lo tanto, p(k)⇒p(k+1). Por Principio de Inducción, se verifica que si a≡b (mod n) entonces ak≡bk (mod n) para todo k∈N.

Proposición 4.

Sean a,b∈Z y m,n∈N. Si a≡b (mod n) y m|n entonces a≡b (mod m).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Por hipótesis, se sabe que m|n. Además, a≡b (mod n) implica n|(a−b). Por transitividad de la divisibilidad (si a|b y b|c entonces a|c), se concluye que m|(a−b). Por lo tanto, a≡b (mod m).

Proposición 5.

Sean a,b,c∈Z y n∈N. Si ac≡bc (mod n) y (c,n)=1, entonces a≡b (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Como ac≡bc (mod n), entonces n|c(a−b). Adicionalmente, (c,n)=1 (es decir, n∤ c) entonces n|(a−b). Por lo tanto, a≡b (mod n).

Proposición 6.

Sean a,b,c∈Z y p∈N. Si ac≡bc (mod p) y p es primo tal que p∤ c, entonces a≡b (mod p).

Proposición 7.

Sean a,b,c∈Z, n∈N y (c,n)=d. Entonces ac≡bc (mod n) si y sólo si a≡b (mod nd).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Se asumirá que ac≡bc (mod n). Por lo tanto, n|c(a−b). Por propiedad de divisibilidad, nd|cd(a−b). Note que nd,cd∈Z, pues (c,n)=d implica (cd,nd)=1. De esto último, se consigue que nd∤cd. Por lo tanto, nd|(a−b). Entonces a≡b (mod nd). Nuestra hipótesis es a≡b (mod nd). Por lo tanto, nd|(a−b). Por propiedad de divisibilidad, n|d(a−b). Adicionalmente, ya que (c,n)=d entonces d|c. Esto implica que d(a−b)|c(a−b). Por transitividad de la divisibilidad, n|c(a−b). Por lo tanto, ac≡bc (mod n).

División

Tú sabes que si a × b = 1, entonces b es el recíproco o inverso de a y también a es el inverso de b.

• Por ejemplo, inverso de a = 4 es b = 0.25 porque 4 · 0.25 = 1. El inverso del entero 4 es el decimal (racional) 0.25.
• Esta es una anomalía que no queremos en ZN. Quisíeramos que en ZN los inversos de los elementos de ZN caigan en ZN, como sucede con los negativos. Pero esto no siempre sucede. Por ejemplo en Z9 = {0, ..., 8}, ningún elemento es inverso de 3, porque ningún número multiplicado por 3 daría 1. Tendría que dar 10, para que al tomarlo módulo 9, dé 1, y ese entero no existe. Sin embargo 2 · 5 = 1. lo que revela que el 5 es el inverso del 2 y, simétricamente, el 2 es el inverso de 5. Podemos afirmar que en Z9, el 2 es invertible, es decir tiene inverso y su inverso es 2⁻¹ = 5. Observa la notación: el inverso de a es a⁻¹. Contar con inversos es importante porque nos permiten hacer divisiones y resolver ecuaciones. En efecto, la division a / b la entendemos como a · b⁻¹, es decir multiplicamos a por el inverso del divisor b.

Teorema (Criterios de divisibilidad)

Sea n = (a_p . . . a₀)10 ∈ N en base 10. Entonces n = a_p10^p + a_p−110^p−1 + a_p−210^p−2 + · · · + a₂10² + a₁10 + a₀ y por tanto,

i) n ≡ a₀ (mod 2), luego n es divisible por 2 ⇔ a₀ lo es,

ii) n ≡ $\sum _{i=0}^{p}$ a_i (mod 3), luego n es divisible por 3 ⇔ $\sum _{i=0}^{p}$a_i lo es,

iii) n ≡ 10a₁+a₀ ≡ 2a₁+a₀ (mod 4), luego n es divisible por 4 ⇔ (a₁a₀)₁₀ lo es,

iv) n ≡ a₀ (mod 5), luego n es divisible por 5 ⇔ a₀ lo es,

v) n ≡ $\sum _{i=0}^{p}$ a_i (mod 9), luego n es divisible por 9 ⇔ $\sum _{i=0}^{p}$ a_i lo es,

vi) n ≡ $\sum _{i=0}^{p}$(−1)ⁱ a_i (mod 11), luego n es divisible por 11 ⇔ $\sum _{i=0}^{p}$(−1)ⁱ a_i

Multiplicación

Las operaciones de suma y producto en Z se pueden trasladar a Zm puesto que son compatibles con la estructura de este ´ultimo conjunto.

Teorema

Sean n ∈ N y a, b, c, d ∈ Z tales que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m). Entonces

i) a + c ≡ b + d (mod m),

ii) ac ≡ bd (mod m).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Supongamos que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m). Entonces a = b+k1m y c = d +k2m con k1, k2 ∈ Z y por tanto (a+c) = (b+d)+(k1+k2)m con k1 +k2 ∈ Z y ac = bd + (bk2 +ck1 +k1k2)m con bk2 +ck1 +k1k2 ∈ Z

Ecuaciones Lineales de Congruencia

Definición 1

Sean a,b∈Z; no nulos y n∈N. Se denomina Ecuación Lineal de Congruencia a la expresión ax≡b (mod n). El número entero x: corresponde a la solución de la ecuación.

Las soluciones de una Ecuación Lineal de Congruencia deben ser números enteros. ¿Existe algún criterio para determinar cuando una Ecuación Lineal de Congruencia tiene soluciones enteras? La respuesta es afirmativa.

Definición 2.

Sean a,b∈Z no nulos y n∈N. La ecuación ax≡b (mod n), tiene solución si y sólo si (a,n)|b.

===== DEMOSTRACIÓN =====

La ecuación tiene solución si y sólo si n|(ax−b). Es decir, si existe un único entero y tal que ny=ax−b. Reordenando, se logra b=ax+nt con t=−y. Por una de las propiedades de la diofántica, la ecuación diofántica ax+nt=b tiene solución si y sólo si (a,n)|b.

Sin embargo (y nuevamente, al igual que en las Ecuaciones Diofánticas Lineales), una Ecuación Lineal de Congruencia puede poseer más de una solución. Por lo tanto, consideremos el siguiente resultado (Definición 3).

Definición 3.

Sean a,b∈Z no nulos, n∈N, (a,n)=d y d|b. Entonces la congruencia ax≡b (mod n) tiene d soluciones. Adicionalmente x≡x0+ntd (mod n), es el conjunto solución de la ecuación, con t={1,2,3,...,d−1} y x0 es una solución particular de ax≡b (mod n). Los siguientes resultados permitirán resolver de manera más expedita una Ecuación Lineal de Congruencia (Definición 4 y 5).

Definición 4.

Sean a,b∈Z y n,d∈N. Si ad≡bd (mod nd), entonces a≡b (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Por definición, existe un único entero t tal que ndt=d(a−b). Reordenando y factorizando, se logra d[nt−(a−b)]=0. Como d≠0 y Z no tiene divisores de cero, entonces nt−(a−b)=0. Así, nt=a−b; por lo que a≡b (mod n).

Definición 5.

Sean a,b∈Z y n,d∈N tales que (n,d)=1. Si ad≡bd (mod n), entonces a≡b (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Por definición, n|d(a−b). Como (n,d)=1 entonces n∤d. Por lo tanto, n|(a−b). Así, a≡b (mod n).

¿Es posible relacionar la función φ de Euler con las Ecuaciones Lineales de Congruencia? La Definición 6 tiene la respuesta.

Definición 6.

Sean a,b∈Z no nulos, n∈N y (a,n)=1. Entonces la única solución a la ecuación ax≡b (mod n) es x≡aφ(n)−1⋅b (mod n).

===== DEMOSTRACIÓN =====

Por definición 3., la ecuación tiene solución única. Por consiguiente, basta probar que x≡aφ(n)−1⋅b (mod n) es solución. Sin embargo, esto es inmediato; pues a(aφ(n)−1⋅b)≡aφ(n)⋅b≡b (mod n), ya que (a,n)=1, por lo que el Teorema de Euler - Fermat establece que aφ(n)≡1 (mod n).

Aritmética con números grandes

Casi todos los procesadores trabajan mucho más rápido con números pequeños que con números grandes. Este problema puede resolverse utilizando congruencias. Para ello consideramos un conjunto {m₁, m₂, . . . , m_k } de números primos entre sí (esto es mcd(m_i, m_j) = 1 para todo i != j). Entonces cualquier número positivo S menor que m = m₁m₂ · · · m_k se puede expresar mediante una n-upla (r₁,r₂, . . . ,r_k ) (con 0 ≤ r_i < m_i para todo i ∈ {1, 2, . . . , k}) donde

${\displaystyle {\begin{cases}x\equiv r_{1}mod(m_{1})\\.\\.\\.\\x\equiv r_{k}mod(m_{k})\end{cases}}}$

Ademas, por el teorema del resto chino existe un único x ∈ {0, 1, 2, . . . , m} satisfaciendo estas condiciones. Además, si

${\displaystyle {\begin{cases}x\equiv r_{1}mod(m_{1})\\.\\.\\.\\x\equiv r_{k}mod(m_{k})\end{cases}}}y{\displaystyle {\begin{cases}x'\equiv r'_{1}mod(m_{1})\\.\\.\\.\\x'\equiv r'_{k}mod(m_{k})\end{cases}}}$

Por tanto, las operaciones aritméticas se pueden realizar entre las r-uplas – cuyas coordenadas son todas menores o iguales que max1≤i≤r mi –, pudiéndose realizar estas operaciones en paralelo. Esto es, para sumar n y n' se suman los vectores asociados (r₁,r₂, . . . ,r_k ) y(r'₁,r'₂, . . . ,r'_k ) y para multiplicar n y n' se multiplican escalarmente los vectores asociados.

Finalmente x + x' y xx' serán las soluciones (únicas en Z_m) de los sistemas anteriores.

Por ejemplo se pueden considerar m₁ = 99, m₂ = 98, m₃ = 97 y m₄ = 95 para trabajar con números menores o iguales que m = m₁m₂m₃m₄ = 89403930.

Otros enteros que pueden escogerse son los de la forma 2^k − 1 con k ∈ N puesto que es relativamente fácil encontrar conjuntos de estos enteros primos entre sí

(mcd(2^a − 1, 2^b −1) = 2^mcd(a,b) − 1). Además con estos enteros es fácil trabajar en base 2. Por ejemplo, 2³⁵ − 1, 2³⁴ − 1, 2³³ − 1,2³¹ −1, 2²⁹ −1 y 2²³ −1 son primos entre sí y el producto de ellos es mayor que 2¹⁸⁴.

Ejemplo: Si tomamos m₁ = 3, m₂ = 4 se tiene que 0 = (0, 0) 1 = (1, 1) 2 = (2, 2) 3 = (0, 3) 4 = (1, 0) 5 = (2, 1) 6 = (0, 2) 7 = (1, 3) 8 = (2, 0) 9 = (0, 1) 10 = (1, 2) 11 = (2, 3) y 5 + 6 ≡ (2, 1) + (0, 2) = (2, 3) ≡ 11.

Por otra parte y 2 · 3 ≡ (2, 2) · (0, 3) = (0, 6) ≡ (0, 2) ≡ 6. Sin embargo 5 · 6 no es calculable, puesto que el resultado es mayor o igual que 12.

Enlaces Externos

http://www.matematicas.ciencias.uchile.cl/juaco/section-10.html

http://serbal.pntic.mec.es/jpem0100/cesar/01.html

https://www.cartagena99.com/recursos/alumnos/apuntes/Tema3%20Aritmetica%20Modular.pdf

Véase también

Teorema de congruencia lineal

Principio de inducción

Reflexividad

Simetría

Transitividad

Congruencias

COMBINATORIA

COMBINATORIA SIN REPETICIÓN

Permutaciones

PERMUTACIONES de n elementos: posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos distintos. Acción: ordenar

Su número: P_n=n!=n·(n-1)·(n-2)··· 3·2·1 (se lee “factorial de n”). Por convenio 0!=1

En la calculadora: con la tecla x! se calcula “factorial de x” , siendo x un número entero no negativo. Modelo: ¿Cuántos números de 4 cifras distintas pueden escribirse con los dígitos 2, 3 , 5 y 8? Solución: 4! = 4· 3 · 2· 1 = 24 números

Variaciones

VARIACIONES de n elementos tomados de r en r : posibles muestras ordenadas de r elementos distintos que se pueden extraer de un conjunto de n elementos (r≤n) Acción: elegir con orden

Su número: V^r_n=n!=n·(n-1)·(n-2)···(n-r+1) ( r factores enteros consecutivos decrecientes a partir de n)

En la calculadora: con la tecla nPr se calcula V^r_n, siendo r≤n,

Notemos que Vⁿ_n= P_n =n!

Modelo: En una carrera con 10 atletas, ¿de cuántas formas distintas podrían repartirse las medallas de oro, plata y bronce?

Solución: V³₁₀ =10· 9·8 720 formas distintas.

Combinaciones

COMBINACIONES de n elementos tomados de r en r: posibles muestras sin orden de r elementos distintos que se pueden extraer de un conjunto de n elementos (r≤n). Acción: elegir sin orden

Su número: C^r_n= ${\binom {n}{r}}={\frac {V_{n}^{r}}{P_{r}}}={\frac {n*(n-1)*(n-2)*...*(n-r+1)}{r!}}={\frac {n!}{r!*(n-r)!}}$

En la calculadora: con la tecla nCr se calcula ${\binom {n}{r}}$ (que se lee “n sobre r”) Modelo: En una reunión de 10 personas debe nombrarse una comisión formada por tres de ellas. ¿Cuántas comisiones distintas podrían nombrarse? Solución:${\binom {10}{3}}={\frac {10*9*8}{3*2*1}}=120$ comisiones distintas.

COMBINATORIA CON REPETICIÓN

Permutaciones con repetición

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: posibles ordenaciones de una secuencia de n signos entre los que hay algunos repetidos (uno se repite x veces, oto y veces, otro z veces… etc.).

Su número: P_n^xyz= ${\frac {n!}{x!*y!*z!...}}$

Notemos que , P_n^{x, n-x}= ${\binom {n}{x}}$

Modelo: ¿Cuántos números distintos de 6 cifras se pueden escribir usando tres unos, dos cincos y un ocho?

Solución: P₆^{3, 2}= ${\frac {6!}{3!*2!}}$= 60 números distintos.

Variaciones con repetición

VARIACIONES CON REPETICIÓN de n elementos tomados de r en r: posibles muestras ordenadas de r elementos no necesariamente distintos que se pueden extraer de un conjunto de n elementos.

Su número: VR^r_n n*n*n*** n = n^r

Notemos que aquí puede ser r > n

Modelo: ¿Cuántos números distintos de 6 cifras se escriben usando solamente las cifras 1, 5 y 8 ?

Solución: VR⁶₃ = 3⁶= 729 números distintos.

Combinaciones con repetición

COMBINACIONES CON REPETICIÓN de n elementos tomados de r en r: posibles muestras no ordenadas de r elementos no necesariamente distintos que se pueden extraer de un conjunto de n elementos.

Su número: CR^r_n = ${\binom {n+r-1}{r}}$

Notemos que aquí puede ser r > n

Modelo: Un banco ofrece un regalo a elegir entre 5 posibles regalos por cada cartilla. Un señor que tiene tres cartillas en dicho banco ¿de cuántas formas puede elegir el lote de tres obsequios si no le importa repetir regalos?

Solución: CR³₅ = ${\binom {5+3-1}{3}}={\binom {7}{3}}=35$ lotes distintos.

Binomio de Newton

Dados dos números a, b ∈ R sabemos que el desarrollo del cuadrado del binomio a + b viene dado por: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Podemos reescribir este desarrollo como:

$(a+b)^{2}={\binom {2}{0}}a^{0}b^{2}+{\binom {2}{1}}a^{1}b^{1}+{\binom {2}{2}}a^{2}b^{0}=\sum _{k=0}^{2}{\binom {2}{k}}a^{k}b^{2-k}$

Análogamente para el desarrollo del cubo de un binomio:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ que también puede reescribirse como:

$(a+b)^{3}={\binom {3}{0}}a^{0}b^{3}+{\binom {3}{1}}a^{1}b^{2}+{\binom {3}{2}}a^{2}b^{1}+{\binom {3}{3}}a^{3}b^{0}=\sum _{k=0}^{3}{\binom {3}{k}}a^{k}b^{3-k}$

La fórmula del binomio de Newton generaliza lo anterior al desarrollo de cualquier potencia natural de un binomio y se expresa de la siguiente manera.

Teorema 1 (Fórmula del binomio de Newton)

Para cualesquiera números a, b ∈ R y cualquier número n ∈ N se verifica:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

Demostración:

Por inducción respecto de n demostraremos que la proposición

$p(n):\forall a,b\epsilon R,(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$ es verdadera para todo número natural n.

Paso base: Probemos que p(1) es V.

$p(1):\forall a,b\epsilon R,(a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{\binom {1}{k}}a^{k}b^{1-k}$

El miembro izquierdo de la igualdad es simplemente a + b. El miembro derecho es:

${\binom {1}{0}}a^{0}b^{1}+{\binom {1}{1}}a^{1}b^{0}=a+b$ de modo que p(1) es verdadera.

(HI)Hipótesis inductiva: Supongamos que p(n) es verdadera.

Ahora probaremos que necesariamente p(n + 1) es verdadera, bajo el supuesto (HI). Para ello procedemos así:

$(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=$

$=a\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}+b\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}=$

$=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k+1}=$

$=\sum _{j=1}^{n+1}{\binom {n}{j-1}}a^{j}b^{n-j+1}+\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j+1}=$

$={\binom {n}{n}}a^{n+1}+\sum _{j=1}^{n+1}{\binom {n}{j-1}}a^{j}b^{n-j+1}+{\binom {n}{0}}b^{n+1}+\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j+1}=$

$={\binom {n}{0}}b^{n+1}+\{\sum _{j=1}^{n}[{\binom {n}{j-1}}+{\binom {n}{j}}]a^{j}b^{n-j+1}\}+{\binom {n}{n}}a^{n+1}=$

$={\binom {n}{0}}b^{n+1}+\sum _{j=1}^{n}{\binom {n+1}{j}}a^{j}b^{n-j+1}+{\binom {n}{n}}a^{n+1}=$

$={\binom {n+1}{0}}a^{0}b^{n+1}+\sum _{j=1}^{n}{\binom {n+1}{j}}a^{j}b^{n-j+1}+{\binom {n+1}{n+1}}a^{n+1}b^{0}=$

$=\sum _{j=0}^{n+1}{\binom {n+1}{j}}a^{j}b^{n+1-j}=$

que muestra que p(n + 1) es verdadera. Luego, por inducción completa p(n) es verdadera para todo n ∈ N.

Principio fundamental de conteo

El principio fundamental de conteo establece que si hay p formas de hacer una cosa, y q formas de hacer otra cosa, entonces hay p × q formas de hacer ambas cosas.

Ejemplo 1:

Suponga que tiene 3 camisas (llamémoslas A, B, y C), y 4 pares de pantalones (llamémoslos w , x , y , y z ). Entonces Usted tiene

3 × 4 = 12

combinaciones posibles:

A w , A x , A y , A z

B w , B x , B y , B z

C w , C x , C y , C z

Ejemplo 2:

Suponga que lanza un dado de 6 lados y saca una baraja de un mazo de 52 barajas. Hay 6 resultados posibles con el dado, y 52 resultados posibles con el mazo de barajas. Así, hay un total de

6 × 52 = 312 resultados posibles del experimento.

El principio de conteo puede extenderse a situaciones donde tenga más de 2 opciones. Por ejemplo, si hay p formas de hacer una cosa, q formas para una segunda cosa, y r formas de hacer una tercera cosa, entonces hay p × q × r formas de hacer las tres cosas.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N₁ maneras o formas, el segundo paso de N₂ maneras o formas y el r-ésimo paso de N_r maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.

N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

Ejemplo:

Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                       M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION

Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

                     m+n maneras.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA                     PLAYAS

Económico             Residencial

Condominio           Californiano

                             Provenzal

  m=2                           n=3

          2+3= 5 maneras

PRINCIPIO DE PERMUTACION:

A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:

                                             FÓRMULA: n P r = n! (n - r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

Aplicando la formula de la permutación tenemos:                                        

n P r = n! (n - r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760 Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n. NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

PRINCIPIO DE COMBINACION:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. La fórmula de combinaciones es:                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto? Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4! El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

Bibliografía

https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/COMBINATORIA.pdf

http://www.materias.unq.edu.ar/pyeArg/Notas%20de%20Clase/completo.pdf

https://sites.google.com/site/estadisticayprobabilidad111/8---principio-fundamental-de-conteo

https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/fundamental-counting-principle#:~:text=El%20principio%20fundamental%20de%20conteo,formas%20de%20hacer%20ambas%20cosas.&text=resultados%20posibles%20del%20experimento.,tenga%20m%C3%A1s%20de%202%20opciones.

Enlaces Externos

http://portal.perueduca.edu.pe/modulos/mod_matconteo/mod_4publish/index.html

http://cibermath.com/cuarto/principios-fundamentales-de-conteo.htm

Véase también

Factorial de un número

ECUACIONES EN DIFERENCIA

Introducción

Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis. Son una excelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoría asociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.

Múltiples problemas de significativa importancia en diversos campos del saber humano, requieren para su estudio de la elaboración de un modelo matemático que los represente. Estos modelos están constituidos principalmente por Ecuaciones Diferenciales y Ecuaciones en Diferencias. Esto se evidencia por el hecho que dentro de las matemáticas aplicadas, las Ecuaciones Diferenciales juegan un papel muy importante en las disciplinas científicas. En sus inicios aparece en problemas mecánicos y geométricos, posteriormente su campo de aplicación se va extendiendo a todas las ramas de la física y en los últimos años es común encontrarlas aplicadas a disciplinas tan diversas como la biología, la economía, la ingeniería, la sociología y la fisiología, entre otras.

De más reciente aparición son las Ecuaciones en Diferencias, las cuales han adquirido una importancia relevante con el creciente estudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinas que modelan y estudian sistemas discretos como la ingeniería y la economía, dado que este tipo de modelamiento es más ajustado a la realidad.

Por otra parte es una área importante en otras carreras como Ingenierías y Economía, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo teórico como practico, ele-mental en el perfeccionamiento de dichas carreras, con lo cual podemos observar que es de gran interés el estudio de las Ecuaciones en Diferencias, ya que seria de gran apoyo a estas el poder encontrar artículos básicamente enfocados a las Ecuaciones en Diferencias.

Historia

“Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones. En los escritos de los antiguos babilonios y egipcios, se han descifrado tales problemas y la forma de resolverlos. Algunas de las antiguas tablillas contienen problemas de tipo algebraico y geométrico, pero las soluciones no utilizan nociones de la geometría. Un antiguo pergamino de los babilonios contiene la solución de la ecuación: x²-x = 870. Tómese la mitad de 1, que es el coeficiente de x, y cuádrese. Entonces, súmese 1/4 a 870, para obtener 3.481/4. Ahora, tómese la raíz cuadrada de 3.481/4 para obtener 59/2. Al número obtenido, súmese la mitad de 1 que es el coeficiente de x. El resultado obtenido, 30, es una solución de la ecuación"

Durante el desarrollo de la historia encontramos una primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con cantidades de distintas clases" (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3.000 años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid -1.650 a. de C- y el de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x + ax = b

x + ax + bx = 0

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón, por montón eran conocidos los números enteros.

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente:

"Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".

En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24

La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi". Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.

Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias cuyo uso dominaban los egipcios. En cuanto el simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo de un par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, para representar la suma y resta, respectivamente.

Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos.

Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:

y + 4x = 28

y + x = 10

restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática.

Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis. Son una excelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoría asociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.

Conceptos Básicos y Teoremas

Una ecuación en diferencias es una expresión del tipo: G(n, f(n), f(n + 1), . . . , f(n + k)) = 0, ∀n ∈ Z, donde f es una función definida en Z.

Si después de simplificar esta expresión quedan los términos f(n + k1) y f(n + k2) como el mayor y el menor, respectivamente, se dice que la ecuación es de orden

k = k1− k2.

Ejemplo 1 .- La ecuación:

5f(n + 4) − 4f(n + 2) + f(n + 1) + (n − 2)3 = 0 es de orden 4 − 1 = 3.

Una ecuación en diferencias de orden k se dice lineal si puede expresarse de la forma: p₀(n)f(n+k)+p₁(n)f(n+k−1)+. . .+p_k(n)f(n) = g(n), donde los coeficientes p_i son funciones definidas en Z.

El caso más sencillo es cuando los coeficientes son constantes p_i(n) = a_i:

a₀f(n + k) + a₁f(n + k − 1) + . . . + a_kf(n) = g(n).

La ecuación en diferencias se dice homogénea en el caso de que g(n) = 0, y completa en el caso contrario.

Teorema 1 .

- Dada la ecuación en diferencias lineal de coeficientes constantes y de orden k:

a₀f(n + k) + a₁f(n + k − 1) + . . . + a_kf(n) = g(n), el problema de hallar una función f definida en Z, que verifique la ecuación, y tal que en los k enteros consecutivos n₀, n₀+1, . . . , n₀+k−1 tome los valores dados c₀, c₁, . . . , c_k−1, tiene solución única.

Teorema 2 .

- Dada una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden k entonces, si una solución f en nula en k enteros consecutivos, es idénticamente nula.

Teorema 3 .

- Toda combinación lineal de soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden k es también solución de dicha ecuación.

Se llama sistema fundamental de soluciones de una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden k a todo conjunto {f₁, f₂, . . . , f_k} de soluciones de dicha ecuación que verifica para algún n₀ ∈ Z que la matriz fundamental es inversible, esto es:

$D(n_{0})={\begin{array}{|ccc|}\\f_{1}(n_{0})f_{2}(n_{0})...f_{k}(n_{0})\\f_{1}(n_{0}+1)f_{2}(n_{0}+1)...f_{k}(n_{0}+1)\\.......................\\f_{1}(n_{0}+k-1)f_{2}(n_{0}+k-1)...f_{k}(n_{0}+k-1)\\\end{array}}\neq 0$

Teorema 4 .

- Sea {f₁, f₂, . . . , f_k} un sistema fundamental de soluciones de una ecuaci´on en diferencias lineal. Entonces:

1. D(n) $\neq$ 0, ∀n ∈ Z.

2. Toda solución de la ecuación homogénea es combinación lineal de f₁, f₂, . . . , f_k, es decir:

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}C_{i}f_{i}(n)$

3. Si z(n) es una solución de la ecuación completa, entonces toda solución de dicha ecuación se puede escribir como la suma de z(n) y de la solución general de la ecuación homogénea, esto es:

$f(n)=z(n)+\sum _{i=1}^{k}C_{i}f_{i}(n)$

Observación 1 .- Frecuentemente se suele denotar y_n+j = f(n + j), con lo cual la ecuación en diferencias se escribe:

a₀ y_n+k + a₁ y_n+k−1 + . . . + a_k y_n = g_n, ∀n ∈ Z.

Ejemplo 2 .- Hallar la ecuación en diferencias que satisface la familia de funciones: f(n)= c₁2ⁿ+c₂

${\begin{cases}f(n)=c_{1}2^{n}+c_{2}\\f(n+1)=2c_{1}2^{n}+c_{2}\\f(n+2)=4c_{1}2^{n}+c_{2}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}c_{1}2^{n}=f(n+1)-f(n)\\c_{2}=2f(n+1)-f(n+2)\end{cases}}\Rightarrow f(n)=f(n+1)-f(n)+2f(n+1)-f(n+2)\Rightarrow f(n+2)-3f(n+1)+2f(n)=0.$

Ejemplo 3 .

- Hallar la solución de la ecuación en diferencias no lineal:

y_n y_n−1 + y_n − y_n−1 = 0, ∀n ∈ Z, que verifica y₀ = c.

Despejando y_n se tiene:

$y(n)={y_{n-1}\ \over \ y_{n-1}+1}$, ∀n ∈ Z.

Por tanto sustituyendo:

$y(n)={y_{n-1}\ \over \ y_{n-1}+1}={y_{n-2}\ \over \ 2y_{n-2}+1}=...={y_{0}\ \over \ ny_{0}+1}.$

Es decir:

$y_{n}={c\ \over \ cn+1}$

Ecuaciones Lineales De Primer Orden

DEFINICIÓN: Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puede expresarse como

p₁(t)y_t+1 + p₂(t)yt = q(t),

donde p_i(t), i = 1, 2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea asociada a la expresión anterior. Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuación lineal anterior es de coeficientes constantes.

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de dinámica de poblaciones. Suelen aparecer escritas como

y_t+1 = p(t)y_t + q(t),

donde p(t)y_t representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a la población como consecuencia de la inmigración.

EJEMPLO 1. Supongamos que una determinada población de insectos con 100 individuos, duplica su número en cada generación, y que además, 10 nuevos individuos se incorporan en cada generación procedente de otro lugar. Vamos a construir una ecuación en diferencias que modele a esta situación y posteriormente la resolveremos.

Del enunciado se deduce,

y_t = 2y_t−1 + 10, _y0 = y(0) = 100 ,

lo que nos permite escribir,

y₁ = 2 × 100 + 10

y₂ = 2(2 × 100 + 10) + 10 = 2 × 2 × 100 + 2 × 10 + 10

y₃ = 2 × 2 × 2 × 100 + 2 × 2 × 10 + 2 × 10 + 10

. .

. .

. .

y_t = {2 × · · · × 2} ×100 + {2 × · · · × 2} ×10 + {2 × · · · × 2} ×10 + · · · + 2 × 10 + 10

(t) (t−1) (t−2)

= 2^t × 100 + 2^t−1 × 10 + 2^t−2 × 10 + · · · + 2 × 10 + 10

= 2^t × 100 + (2^t−1 + 2^t−2 + · · · + 2¹ + 2⁰) × 10

= 2^t × 100 + (2^t − 1) × 10 = 110 × 2^t − 10 ,

donde en el último de los pasos hemos utilizado la fórmula que nos da la suma de t términos de una progresión geométrica de razón 2. La solución es, por tanto,

yt = 110 × 2t − 10

Ecuaciones Lineales De Segundo Orden

DEFINICIÓN: Una ecuación en diferencias lineal de segundo orden es aquella que puede expresarse como

p₁(t)y_t+2 + p₂(t)y_t+1 + p₃(t)y_t = q(t), (4.5.1)

donde p_i(t), i = 1, 2, 3 y q(t) son funciones en la variable discreta t.

Si la función q(t) = 0, entonces (4.5.1) es su ecuación lineal en diferencias homogénea de segundo orden asociada. Además, si todas las funciones p_i(t) son constantes,

entonces (4.5.1) es una ecuación en diferencias lineal de segundo orden con coeficientes constantes, y será en la que nos centraremos.

Veamos en primer lugar un teorema de existencia y unicidad de solución para una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n.

TEOREMA 4.5.2 Dada la siguiente ecuación lineal en diferencias homogénea de orden n

y_t+n + p₁(t)y_t+n−1 + · · · + p_n(t)y_t = 0 ,

y dados n números reales k₀, k₁, · · · , k_n−1, existe una única solución, cumpliendo

y₀ = y(0) = k₀, y₁ = k₁, · · · y_n−1 = k_n−1 .

Demostración. Comenzamos definiendo la siguiente sucesión:

y₀ = y(0) = k₀, y₁ = k₁, · · · y_n−1 = k_n−1 ,

y para los valores de t mayores que n − 1, procedemos de la siguiente manera

y_n = −p₁(0)y_n−1 − · · · − p_n(0)y₀ = −p₁(0)k_n−1 − · · · − p_n(0)k₀ ,

y_n+1 = −p₁(1)y_n − · · · − p_n(1)k₁ .

De esta manera, y_t queda definida por la ley de recurrencia anterior. Puede comprobarse que y_t es solución de la ecuación pedida y cumple las condiciones iniciales. Además, es la única solución, ya que si w_t es otra solución que cumple w₀ = k₀, w₁ = k₁, · · · w_n−1 = k_n−1, la ley de recurrencia que hemos encontrado anteriormente, determina el resto de los valores de w_t

Consideremos la ecuación en diferencias lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes

a y_t+2 + b y_t+1 + c y_t = 0 , (4.5.2)

cualquier combinación lineal de soluciones de (4.5.2) sigue siendo otra solución.

TEOREMA 4.5.3 Si y¹_t , y²_t son dos soluciones de (4.5.2), entonces k₁y¹_t +k₂y²_t, con k₁ y k₂ constantes, sigue siendo solución de (4.5.2).

Demostración. Es inmediata, basta llevar k₁y¹_t +k₂y²_t en (4.5.2).

Del mismo modo, también es evidente la demostración del siguiente resultado.

TEOREMA 4.5.4 Si y^c_t es una solución de a y_t+2 + b yt₊₁ + c y_t = q(t), (4.5.4)

e y^h_t es solución de la ecuación homogénea asociada, entonces y_t = y^h_t +y^c_t es solución de la ecuación completa (4.5.4).

A continuación veremos las condiciones bajo las cuales la combinación lineal de dos soluciones particulares de la ecuación homogénea dan lugar a su solución general.

TEOREMA 4.5.5 Si y¹_t , y²_t son dos soluciones de (4.5.2), entonces

y=k₁y¹_t +k₂y²_t ,

con k₁ y k₂ constantes, es la solución general de (4.5.2) si

${\begin{vmatrix}y_{0}^{1}&y_{0}^{2}\\y_{1}^{1}&y_{1}^{2}\end{vmatrix}}\neq 0$

Demostración. Consideremos el sistema de ecuaciones lineales siguiente

${\begin{cases}\alpha _{1}y_{0}^{1}+\alpha _{2}y_{0}^{2}=\beta _{1}\\\alpha _{1}y_{1}^{1}+\alpha _{2}y_{1}^{2}=\beta _{2}\end{cases}}$

cualesquiera que sean los valores de β1 y β2, por hipótesis del teorema, el sistema es compatible determinado. Pero por el Teorema 4.5.2 existe una única solución de la

ecuación homogénea que puede ser escrita como y_t=k₁y¹_t +k₂y²_t , pues basta tomar

β₁ = y₀ y β₂ = y₁, y calcular α₁ y α₂. Para finalizar asignamos los siguientes valores, k₁ = α₁ y k₂ = α₂.

A dos soluciones y¹_t , y²_t cumpliendo las hipótesis del Teorema 4.5.2 le daremos el nombre de sistema fundamental de soluciones. Siguiendo un razonamiento

similar al realizado en el Teorema 4.5.2, podemos demostrar el siguiente resultado.

TEOREMA 4.5.5 Si y^p_t es una solución particular de a y_t+2 + b y_t+1 + c y_t = q(t), (4.5.5) e y¹_t , y²_t forman un sistema fundamental de soluciones, entonces

y^p_t + k₁y¹_t +k₂y²_t , es la solución general de (4.5.5).

Bibliografía

http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/gennyecuacionesl4.312.pdf

http://www.dma.uvigo.es/~lino/Tema8.pdf

http://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf

Referencias

• BURDEN, R.L. y FAYRES, J.D. Análisis Numérico Matricial. Ed. Iberoamericana, 1985.​
• CHAPRA, S.C. y CANALE, R.P Métodos Numéricos para Ingenieros. McGraw-Hill, 1987.​
• CIARLET, P. Introduction a l’Analyse Numérique Matricielle et a l’Optimisation. Masson, 1982.​
• DALQUIST, G. y BJORCK, A. Numerical Methods. Prentice Hall, 1974.​
• GOURLAY, A.R. y WATSON, G.A. Computational Methods for Matrix Eigenproblems. John Wiley, 1953.​
• HAMMERLIN, G. y HOFFMANN, J.D. Numerical Mathematics. Springer Verlag, 1991.​
• HENRICI, P. Elementos de Análisis Numérico. Trillas, 1972.​
• HOFFMANN, J.D. Numerical Methods for Engineering and Sciences. McGraw-Hill, 1992.​
• KELLEY, C.T. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. Frontiers in applied mathematics, SIAM, 1995.​
• KINCAID, D. y CHENEY, W. Análisis Numérico. Addison Wesley Iberoamericana, 1994.​
• LASCAUX, P. y THEODOR, R. Analyse Numérique Matricielle Appliqu´ee a l’ Ingenierie. Masson, 1986.​
• NOUGIER, J.P. M´ethodes de Calcul Numérique. Masson, 1985.​
• SCHWARTZ, H.R. Numerical Analysis. A Comprehensive Introduction. John Wiley, 1989.​
• THEODOR, R. Initiation a l’Analyse Numérique. Masson, 1986.​

Geometría Computacional

INTRODUCCIÓN

Una parte significativa del crecimiento que la Matemática Discreta, como un todo, ha experimentado en los últimos años, ha consistido en un desarrollo sustancial de la Geometría Discreta. Esto ha sido impulsado, en parte, por el desarrollo de ordenadores cada vez más potentes, y por la reciente explosión de actividad en el campo relativamente joven de la Geometría Computacional.

¿Y qué es la Geometría Computacional? En pocas palabras, es el arte de resolver problemas conceptualmente sencillos usando los menos recursos posibles y empleando el mínimo tiempo posible. La Geometría Computacional surgió a finales de los 70s del área de diseño y análisis de algoritmos. La mayoría de los estudios algorítmicos que abordaban estos problemas han ido apareciendo a lo largo de los últimos 150 años, aunque sobre todo en los últimos treinta. De todas formas, sólo muy recientemente han sido realizados estudios sistemáticos de algoritmos geométricos y cada día más investigadores se sienten atraídos por la disciplina que fue bautizada en 1975 por Shamos.

Hasta hace poco, Geometría Computacional se refería al diseño y análisis de algoritmos geométricos, pero en los últimos años ha ampliado su campo, y ahora también incluye el estudio de problemas geométricos desde un punto de vista computacional, incluyendo también convexidad computacional, topología computacional y complejidad combinatorial de disposiciones de poliedros.

En los últimos años ha aumentado el número de áreas en las que se aplican los resultados de esta disciplina. Entre las mismas se incluyen la ingeniería, cristalografía, diseño asistido por computador, sistemas de posicionamiento global, robótica, sistemas de detección de errores, modelado geométrico, gráficos por ordenador, optimización combinatorial, visión por ordenador, reconocimiento de patrones y modelado sólido.

COMPLEJIDAD ALGORÍTMICA

Frecuentemente se tiene que un mismo problema puede resolverse mediante distintos algoritmos y es preciso establecer criterios que nos permita decidir cuál es mejor. En general se atiende a razones de economía en cuanto al número de operaciones que necesita el algoritmo para resolver el problema.

La complejidad de un algoritmo no es sino una medida del coste que supone su ejecución tanto en tiempo (o número de operaciones "elementales" que ha de realizar) como en espacio (o unidades de memoria requeridas para almacenar y manipular los datos a lo largo de la ejecución) y vendrá dada en función del número de datos de entrada.

El estudio de la complejidad de un algoritmo puede llevarse a cabo principalmente bajo dos puntos de vista:

      * Complejidad en el peor de los casos.

      * Complejidad en media (o esperada).

La primera consiste en medir la complejidad del algoritmo atendiendo a su ejecución cuando trata los datos del problema en el caso más desfavorable, entendiéndose por desfavorable el más costoso.

La segunda consiste en medir la complejidad haciendo un promedio entre todos los casos (favorables y no favorables) atendiendo a la probabilidad de que aparezcan como entrada. Para ello se supone que los datos de entrada vienen dados conforme a cierta distribución de probabilidad y se estudia cuál es el tiempo esperado de ejecución.

Si n es el tamaño del conjunto de datos de entrada de un determinado algoritmo, sus complejidades en tiempo y en espacio son funciones positivas de n y, en cuanto a su análisis, se está especialmente interesado en su comportamiento asintótico, es decir, en saber cómo se comportan para valores grandes de n.

La notación que utilizaremos en el estudio asintótico de estas funciones es la estándar propuesta por Knuth:

Si f(n) y g(n) dos funciones positivas se dirá que

1. "f es o grande de g" y se notará f(n) = O(g(n)) si existen una constante C > O y un número natural n0 > O tales que

f(n) menor Cg(n) para todo n> n0

2. "f es omega de g" y se notará f(n) Q(g(n)) si g(n) = O(f(n))

3. "f es theta de g" y se notará f(n) = O(g(n)) si f(n) = O(g(n)) y f(n) = Q(g(n)).

APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA COMPUTACIONAL

Uno de los aspectos más interesantes de la Geometría Computacional es la gran aplicabilidad de sus resultados.

El significado del término computación se ha expandido notoriamente desde la introducción de los ordenadores, hará ahora unos cincuenta años.

Atendiendo a los objetos que procesan, destacan tres tipos de aplicaciones de los ordenadores. La primera generación va a ser la de los cálculos numéricos, aplicados sobre todo a problemas científicos y técnicos. La segunda, propiciada por necesidades más comerciales y administrativas, incorporaba largas listas de datos (por ejemplo alfabéticos), con vistas a cómo leer, almacenar, modificar, seleccionar, e imprimir esos datos.

Todo esto naturalmente pervive, y con fuerza, pero vivimos una tercera generación de aplicaciones dominada por el procesamiento de información geométrica y gráfica, presente en áreas tan diversas como son la medicina, la cartografía, el control de robots o el diseño artístico. La Geometría Computacional ha emergido, ciertamente, por la necesidad de dar respuesta a esta nueva y creciente demanda.

Se podría decir que las aplicaciones van a preceder la disciplina, y ahora que ésta tiene ya un núcleo teórico sólidamente constituído, como sus vertientes prácticas corresponden a tecnología de máxima vanguardia, la demanda de resultados continúa con la misma fuerza y exigencia que al principio. Por eso diremos que, en Geometría Computacional, las aplicaciones tienen un protagonismo esencial.

Dentro de los campos de aplicación más directamente relacionados con la disciplina destacaremos:

    La Informática Gráfica

    El Diseño y Fabricación Asistida por Ordenador (CAD/CAM)

    La Caracterización y Reconocimiento Automático de Formas (Pattern Recognition)

    El Diseño VLSI

    La Visión Artificial

    La Cartografía

    La Robótica

A continuación mostramos algunos problemas particulares que se plantean en algunas de estas áreas, y en las que se han realizado contribuciones (en algunos casos, muy importantes) por parte de la Geometría.

Gráficos por Ordenador

Lo que se entiende hoy por Gráficos por Ordenador (o Informática Gráfica), pese a ser una rama de Informática que también se ocupa de los fenómenos geométricos desde el punto de vista del cálculo, es un área bien distinta de la Geometría Computacional.

Mientras que ésta se ocupa de proporcionar los fundamentos teóricos involucrando el estudio de algoritmos y de estructuras de datos para hacer cálculos geométricos, la Informática Gráfica se ocupa del desarrollo práctico del software, hardware y algoritmos necesarios para crear gráficos en la pantalla del ordenador.

Sin embargo, ambas tienen algunas técnicas similares (otras muy distintas), y sin duda alguna, se influencian mutuamente. Desde el ámbito de los informática gráfica se dan a conocer problemas prácticos a la comunidad de estudiosos de la Geometría Computacional, y la Geometría Computacional aporta algoritmos rápidos que los resuelven. Se espera que la Geometría Computacional haga grandes mejoras a los algoritmos estándar usados en gráficos por ordenador.

La Geometría Computacional también proporciona nuevas maneras de pensar los problemas a los programadores de gráficos.

Una cuestión muy importante en informática gráfica es la representación realista de escenas complejas. Uno de los requisitos es la eliminación de líneas y superficies ocultas a partir de un modelo tridimensional. Las primeras soluciones razonablemente satisfactorias van a iniciar áreas importantes de investigación dentro de la geometría computacional, concretamente los problemas de intersección. Los resultados de estas investigaciones han dado nuevas aplicaciones en informática gráfica. De modo que hay una interacción continua en este problema como en otros muchos otros.

Otros problemas fundamentales que aparecen en Gráficos son: el trazado de rayos, la aproximación de contornos mediante poligonales y la triangulación de polígonos. En todos ellos la Geometría Computacional ha realizado recientemente contribuciones significativas.

En una habitación poligonal (galería de arte) en el plano se colocan cuatro cámaras de manera que se pueda vigilar con ellas toda la sala. Si se está interesado en averiguar cuál es la región que es visible por una sola cámara esto es equivalente a eliminar las porciones del polígono que quedan ocultas. Uno de los algoritmos estándar usado para resolver este problema de líneas ocultas en el plano es el debido a Freeman y Loutrel hace más de diez años antes de lo que se atribuye como el nacimiento de la Geometría Computacional. Dicho algoritmo corre en tiempo 0(n2) donde n es el número de lados del polígono.

Utilizando técnicas desarrolladas para el diseño de algoritmos en Geometría Computacional, ElGindy y Avis consiguieron un algoritmo para este problema que corre en tiempo (óptimo) 0(n), cuando n es grande esto supone una mejora sustancial en la velocidad de ejecución.

Fabricación industrial

Veamos algunos ejemplos en este campo.

- Modelado por inyección.

Una de las técnicas utilizadas en la fabricación industrial de objetos consiste en utilizar moldes en los que se inyectan ciertos materiales líquidos que al solidificar dan lugar al objeto requerido con la forma imprimida por el molde.

Durante la inyección del líquido, el molde es colocado en una posición favorable de manera que no aparezcan defectos en la superficie tales comos burbujas de aire y se garantice un llenado completo. Dos de los problemas que surgen en este contexto son: dado un objeto tridimensional como molde , establecer si existe una orientación que permite el llenado del molde usando sólo un punto de inyección y determinar una orientación que permita el llenado más completo.

Habitualmente en la práctica se sigue un proceso de prueba y error utilizando ciertas técnicas intuitivas.

-Robótica

Una de las principales aplicaciones de Geometría Computacional tiene que ver con problemas de robótica. Mencionemos aquí dos de ellos: la planificación de movimientos y el ensamblaje automático.

En el primero, el problema típico involucra un robot, generalmente modelizado como un punto, un disco, o un polígono en dos dimensiones, o bien como un poliedro en tres dimensiones que ha de moverse en el espacio entre una colección de obstáculos. Una de las preguntas usuales es ¿puede moverse el robot desde un punto A a otro B sin colisionar con los obstáculos?

Si es así, se deberá encontrar la trayectoria más corta. Localización de una trayectoria libre de colisiones.

El ensamblaje automático es un caso especial de problema de planificación de movimientos en el que consideramos una colección de objetos y nos preguntamos si puede ser separada en partes o unir en una configuración determinada y si es así, qué tipo de movimientos (giros, traslaciones, etc.) garantizan esa respuesta.

Bibliografía

http://www.dma.fi.upm.es/personal/gregorio/geometria_computacional/web/shortest_path/html/Geometria_Computacional.htm

https://personal.us.es/almar/docencia/practicas/

Teoría de la computabilidad

Introducción

La Teoría de la Computabilidad es el estudio matemático de los modelos de computación. Como tal estudio teórico, se originó en la década de los años 30 con los trabajos de los lógicos Church, Gödel, Kleene, Post y Turing.

Téngase en cuenta que en aquellos años el avance tecnológico ni siquiera podía prever la revolución que en la década de los 60 traerían los ordenadores, y sin embargo, conceptos habituales hoy en día (computadores universales, programas como listas de instrucciones de un lenguaje formal, intérpretes, ...) ya fueron definidos desde un punto de vista teórico por esos matemáticos.

Descripción

La teoría de la computabilidad, también denominada teoría de la recursión, es una de las cuatro partes que constituyen la lógica matemática, siendo las otras tres, la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la teoría de la demostración, y se ocupa del estudio y clasificación de las relaciones y aplicaciones computables. Además, la teoría de la computabilidad, junto con la teoría de autómatas, lenguajes y máquinas, es el fundamento de la informática teórica y esta, a su vez, de la industria de los ordenadores.

Desde tiempo inmemorial se sabe que cierta clase de problemas, e.g., la determinación del máximo común divisor de dos números enteros, mediante el algoritmo de Euclides, o la determinación de los números primos, mediante la criba de Eratóstenes, son algorítmicamente solubles, i.e., hay algoritmos o procedimientos mecánicos que permiten obtener la solución del problema en cuestión. De manera que hasta principios del siglo XX se daba por hecho que existían algoritmos y que el único problema residía en determinarlos. Así pues, si lo que se desea es determinar un algoritmo, no hay ninguna necesidad de definir la clase de todos los algoritmos; eso sólo es necesario si se pretende demostrar que algún problema no es algorítmicamente soluble, i.e., que para dicho problema no hay ningún algoritmo que lo resuelva.

Es posible que el primero en afirmar la no existencia de un algoritmo fuera Tietze en 1908, quién dijo de los grupos de presentación finita:

“. . . la cuestión acerca de cuándo dos grupos son isomorfos no es soluble en general.”​

Pero parece ser que fue, por una parte, el problema de la decidibilidad de la lógica de predicados planteado por Hilbert y Ackermann en su libro sobre lógica, publicado en 1928, y, por otra, el asunto de la solubilidad de todo problema matemático, lo que indujo, en aras a resolverlos, a diversos investigadores a partir de 1930, y entre los que cabe mencionar a Gödel, Church y Turing, a proponer diversas formalizaciones del concepto informal de función mecánicamente computable. Debido a que de todas esas formalizaciones, y de otras propuestas por Kleene, Post y Markoff, se demostró que eran dos a dos equivalentes, se propuso la hipótesis, conocida como Hipótesis

de Church-Turing-Post-Kleene, que afirma la coincidencia entre el concepto informal de función parcial mecánica o algorítmicamente computable, y el concepto formal, matemático, de aplicación parcial recursiva. Naturalmente, esa hipótesis, de carácter similar a otras hipótesis propuestas en las ciencias empíricas, no es demostrable, y su fundamento último reside en las equivalencias antes mencionadas.

Hay cursos dedicados, en primer lugar, al estudio de diferentes clases de aplicaciones recursivas, desde las recursivas primitivas, hasta las parciales recursivas, pasando por las recursivas generales, así como al de diversas clases de relaciones, entre las que cabe citar a las recursivas primitivas, las recursivamente enumerables y a las recursivas, demostrando además, ciertos teoremas fundamentales de la teoría de la recursión, debidos en gran medida a Kleene; y, en segundo lugar, a la aplicación de la teoría de la recursión a la demostración de la indecidibilidad de la lógica de predicados de primer orden, i.e., a la demostración de que el conjunto de los números de Gödel de los teoremas de la lógica de predicados de primer orden no es recursivo, aunque sí sea recursivamente enumerable; y de los teoremas de incompletitud de Gödel, de los cuales, el primero da cuenta, esencialmente, de la diferencia, en la aritmética, entre las nociones de verdad y demostrabilidad, mientras que el segundo afirma que, bajo ciertas condiciones, no es posible demostrar desde una teoría, la consistencia de la misma, i.e., esencialmente que el infinito no es eliminable en las matemáticas.

Bibliografía

https://www.uv.es/~jkliment/Documentos/TeoComp.pc.pdf

http://www.cs.us.es/~fsancho/?p=computabilidad

Referencias

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