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Esfera de Strömgren

En astrofísica teórica, una esfera de Strömgren es la región de hidrógeno ionizado (regiones H II) producida alrededor de una estrella por la radiación ultravioleta que emite. Las estrellas de la clase espectral O-B tienen una temperatura superficial suficiente para producir fotones con esa energía y dan lugar a las nebulosas de emisión y de reflexión. La nebulosa Roseta es una de las más representativas nebulosas de emisión, y fue descubierta por Bengt Strömgren en 1937.

La formación de estrellas tiene lugar en el seno de nubes de gas formado en su mayoría por hidrógeno molecular (H2), y atómico (H). En aquellas regiones en que existe una estrella cuya temperatura efectiva es suficientemente alta para radiar fotones con energías superiores a la de ionización del átomo de hidrógeno (13.6 eV), el gas que la rodea queda ionizado, dando lugar a las llamadas regiones H II. En concreto, las estrellas con clasificación espectral O y B, con temperaturas de orden de 30.000 K, producen fotones con estas características.

El tamaño de la región H II, su radio en el caso de simetría esférica, está determinado por el equilibrio entre el número de átomos que son ionizados absorbiendo fotones con la energía necesaria, y el número de iones que son neutralizados, recombinándose para dar lugar de nuevo a átomos neutros tras emitir fotones con la energía correspondiente a las transiciones a niveles del átomo con menor energía.

La esfera de gas ionizado, en que se alcanza el equilibrio entre los procesos de fotoionización y recombinación, se conoce como esfera de Strömgren, por ser el astrofísico danés Bengt G. D. Strömgren quien estimó por primera vez el valor de su radio, mediante la fórmula que lleva su nombre.

El equilibrio de fotoionización y recombinación

La mayor parte del gas que rodea la estrella ionizante, alrededor de un 75%, está formado por hidrógeno (H), siendo prácticamente el 25% restante Helio (He). Para mayor simplicidad podemos suponer inicialmente que todo el gas está compuesto solamente por H.

En estas condiciones los fotones γ con energía superior al potencial de ionización del H arrancan los electrones de los átomos, ionizándolos {H^+} Inmediatamente la fuerza de atracción de Coulomb entre electrones y protones es causa del proceso opuesto, en el que los iones, protones, capturan a los electrones libres, produciendo su recombinación, según se muestra esquemáticamente en las reacciones:

${\ce {H + \gamma -> p + e^-}}$ (fotoionización)

${\ce {p + e^--> H + \gamma}}$ (recombinación)

La energía del fotón producido en la recombinación es la suma de la energía de enlace del nivel del átomo de H en el que se recombina, más su energía cinética. Los electrones que quedaron excitados en niveles atómicos de energía mayor que la del nivel fundamental, sufren a continuación una des-excitación en cascada hasta acabar en el nivel fundamental (n=1).  Este proceso, en el que se emiten nuevos fotones, es el responsable de la producción de las líneas de emisión de las series Balmer y Lyman del espectro del H.

Finalmente, el equilibrio entre ambas reacciones determina el tamaño de la región en que el gas se encuentra ionizado, que depende de la tasa de producción de fotones ionizantes por la estrella, y de la tasa de recombinación de los iones producidos en átomos, que depende de su número y del volumen de la región.

El proceso de recombinación

La recombinación de los electrones con los iones (H⁺) puede suceder hacia cualquier nivel del átomo de H con nº cuántico mayor o igual al fundamental (n>=1). El número de electrones que se recombinan por unidad de volumen y tiempo es proporcional a la densidad del nº de electrones (N_e) y protones (N_p), siendo su número igual $N_{e}=N_{p}$ para un gas compuesto solo de Hidrógeno.

La tasa de recombinación depende también de la temperatura de los electrones, por dos razones: porque determina su energía, y porque la probabilidad de que un protón se encuentre con los electrones para recombinarse, depende de su distribución de velocidades, es decir de su temperatura.

La distribución de velocidades de los electrones arrancados de los átomos sigue una distribución de Maxwell. Los procesos colisionales que tienen lugar entre ellos transfieren la energía entre electrones, protones y átomos, de forma casi instantánea y alcanzando el gas una temperatura de entre 10³ y 10⁴  K. El valor del coeficiente de recombinación,  que expresa el número de electrones que se recombinan por unidad de tiempo, depende de esta temperatura.

El número de recombinaciones que tienen lugar depende linealmente del número de protones (N_p) y del número de electrones libres (N_e) por unidad de volumen, así como del coeficiente de recombinación. Siendo $x=N_{e}/N_{p}$ la fracción de ionización, la tasa de recombinación en un volumen dado es

${\frac {dN_{r}}{dt}}=N_{e}N_{p}{\alpha }(T_{e})=xN_{p}^{2}{\alpha }(T_{e})$

donde α(T_e) es el coeficiente de recombinación para todos los niveles de energía del átomo de H, y depende de la temperatura del gas. Una expresión aproximada del mismo es

$\alpha (T_{e})\approx 2\times 10^{-16}T_{e}^{-3/4}[m^{3}s^{-1}]$

Puesto que los átomos en niveles excitados se des-excitan por transiciones dipolares hasta el nivel fundamental en tiempos muy cortos (ms), podemos asumir que la ionización se produce siempre solo desde ese nivel. De modo que solo las recombinaciones directas hacia el nivel fundamental son las que pueden producir fotones con la energía necesaria para la posterior ionización de un átomo. Podemos además asumir que esta ionización se produce en el mismo lugar en que tuvo lugar la recombinación (“on-the-spot”), de forma que el resultado neto es que todas las recombinaciones al nivel fundamental quedan igualadas por un número igual de ionizaciones.

Por consiguiente, en el balance total de fotoionización y recombinación quedan excluidas las recombinaciones hacia el nivel fundamental. Asumiendo una ionización completa, N_e=N_p ,  la fórmula que expresa el número total de recombinaciones por unidad de tiempo, es, pues:

${\frac {dN_{r}}{dt}}=\textstyle \sum _{n=2}^{\infty }\displaystyle {\frac {dN_{r}}{dt}}=N_{e}^{2}{\alpha }(T_{e})$

El proceso de fotoionización

El número de fotones con una frecuencia γ, que emite por segundo una estrella, está dado por su luminosidad L_γ . El numero de fotones con energías superiores al potencial de ionización del hidrógeno (13.6 eV) es: FORMULA

$Q=\int _{h\nu =13.6eV}^{\infty }{\frac {L_{\nu }}{h\nu }}d\nu$

Valores típicos de  para estrellas del tipo espectral O y B son del orden de 10⁴⁶ a 10⁴⁹ fotones por segundo. Asumiendo que todos los átomos de H que son ionizados se encuentran en el nivel fundamental, la tasa de ionización es proporcional al número de átomos y a su sección eficaz de ionización. La sección eficaz σ equivale al área efectiva que presenta el átomo para la interacción con un fotón capaz de ionizarlo. Su valor, para un fotón con la energía de 13.6 eV es de σ= 6.28 10^-22  m² .

El radio de la esfera de Strömgren

Para una estrella que emite un número dado de fotones ionizantes por unidad de tiempo, el radio de la esfera (R_s) necesaria para que todos ellos sean recombinados, viene dado, en una primera aproximación, por la fórmula de Strömgren.

Suponiendo que todos los átomos son ionizados, x=1, que α es la tasa de recombinación por unidad de tiempo, y que el número de electrones (N_e), es igual al de protones (N_p), el número de recombinaciones es:

$N_{r}={\frac {4}{3\pi }}R_{s}^{3}(N_{e}N_{p}){\alpha }={\frac {4}{3\pi }}R_{s}^{3}N_{p}^{2}{\alpha }$

En el equilibrio de fotoinización-recombinación se tiene: $Q=N_{r}$ por lo que el radio R_s  de Strömgren es el de la esfera en el que el valor de la tasa de recombinación iguala al de la tasa de ionización:

$R_{s}={\sqrt[{3}]{\frac {3Q}{4\pi N_{p}^{2}\alpha }}}$

Un valor típico para una estrella que emite 10⁴⁹ fotones ionizantes por segundo, en un gas con densidad de 10⁸ átomos/m³ y temperatura de 10⁴ K, es R_s = 3 parsec.

La hipótesis asumida de que toda la región de la esfera se encuentra totalmente ionizada, si bien no es del todo cierta, es muy aproximada. Modelos más precisos muestran cómo el espesor de la región parcialmente ionizada, limítrofe con el gas neutro, es muy pequeña, del orden de décimas de parsec. Los fotones ionizantes son retenidos dentro de la esfera de Strömgren, y los que tienen menor energía (con hν<13.6 eV, y longitud de onda mayor de 91.2 nm) escapan libremente al medio interestelar.

En lo anterior se ha asumido que el gas se encuentra en equilibrio estático, puesto que la escala de tiempos de las dinámicas atómicas y moleculares es mucho menor que la dinámica de expansión del gas de la región ionizada. Así mismo se ha supuesto que la densidad del gas es la misma en la interior y en el exterior de la esfera ionizada.

Sin embargo, la temperatura que se alcanza en el interior de la esfera ionizada es mucho mayor (≈10⁴ K) que en el exterior (≈10² K), de forma que la presión del gas es también mucho mayor. Como resultado a lo largo del tiempo la región ionizada se expandirá hasta que la presión interior iguale a la exterior, alcanzándose una nueva densidad de equilibrio. Se produce así un frente esférico ionizado que se expande con velocidad radial, rodeado de una corteza densa y fría del gas.

Derivación del radio de la región ionizada

El radio de Strömgren es el radio característico de una región HII, completamente ionizada, que viene determinado por el equilibrio de fotoionización-recombinación. El flujo de fotones con una frecuencia dada (J_ν), a una distancia r del centro de la estrella que los produce, viene dado por:

$4\pi J_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(r)=\pi I_{\nu }(R){\frac {R^{2}}{r^{2}}}e^{-\tau _{\nu }}$

donde $\pi I_{\nu }(r)$ es el flujo de una fuente homogénea producida por un solo hemisferio (e.d. el flujo que se observa de la fuente, ignorando el flujo producido por la parte de "atrás" del emisor) a una distancia r, $I_{\nu }(R)$ es la energía producida a una distancia R, donde R es el Radio de la estrella y $\tau _{\nu }$ es la profundidad óptica del medio.

Si observamos bien, la ecuación anterior nos dice que el promedio en energía a una distancia r es igual a la energía producida en la superficie de la fuente, multiplicada por el factor de decaimiento del flujo ($R^{2}/r^{2}$) y multiplicada por la absorción del gas.

Sustituyendo en la ecuación de equilibrio

$N_{H^{o}}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}{\frac {R^{2}}{r^{2}}}e^{-\tau _{\nu }}a_{\nu }(H^{o})d\nu =N_{e}N_{p}\alpha _{A}(H,T)$

desarrollando y tomando la aproximación on-spot ($\alpha _{B}=\alpha _{A}-\alpha _{1}$)

$N_{H^{o}}R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}e^{-\tau _{\nu }}a_{\nu }(H^{o})d\nu =r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)$

sabiendo que ${\frac {d\tau _{\nu }}{dr}}=N_{H^{o}}a_{\nu }(H^{o})$ entonces $d(-e^{-\tau _{\nu }})=e^{-\tau _{nu}}d\tau _{\nu }=e^{-\tau _{nu}}N_{H^{o}}a_{\nu }(H^{o})dr$ Si sustituimos

$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d(-e^{-\tau _{\nu }})d\nu =r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)$

integrando sobre r

$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}\int _{0}^{\infty }d(-e^{-\tau _{\nu }})drd\nu =\int _{0}^{\infty }r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$

$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu (-e^{-\tau _{\nu }}|_{0}^{\infty })=\int _{0}^{\infty }r^{2}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$

Si suponemos que a una distancia $r_{1}$ todo se encuentra ionizado, entonces $N_{e}=N_{p}=N_{H}$ y después de esa region $Ne=0$ entonces $R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu =\int _{0}^{r_{1}}N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr+\int _{r_{1}}^{\infty }N_{e}N_{p}\alpha _{B}(H,T)dr$

$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu =\int _{0}^{r_{1}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)dr$

$R^{2}\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {4\pi I_{\nu }(R)}{h\nu }}d\nu ={\frac {r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$

Como

$L_{\nu }=4\pi R^{2}\pi I_{\nu }(R)$

$\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {L_{\nu }}{h\nu }}d\nu ={\frac {4\pi r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$

sustituyendo $Q_{\nu }=\int _{\nu _{o}}^{\infty }{\frac {L_{\nu }}{h\nu }}d\nu$

llegamos $Q_{\nu }={\frac {4\pi r_{1}^{3}}{3}}N_{H}^{2}\alpha _{B}(H,T)$

donde $r_{1}$ es el radio de Strömgren para una región solo de Hidrógeno.

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