La sustitución de Euler es un método para evaluar integrales de la forma
donde es una función racional de y de . En tales casos, el integrando se puede cambiar a una función racional usando las sustituciones de Euler.[1]
Primera sustitución[editar]
La primera sustitución de Euler se utiliza cuando . Se sustituye
y se resuelve la expresión resultante para . Se tiene que
y el término se puede expresar racionalmente en .
En esta sustitución, se puede elegir el signo positivo o el signo negativo.
Segunda sustitución[editar]
Si , se toma
Se resuelve para de manera similar al caso anterior y entonces
Nuevamente, se puede elegir el signo positivo o negativo.
Tercera sustitución[editar]
Si el polinomio tiene raíces reales y , se puede elegir
- .
Esto produce
y como en los casos anteriores, se puede expresar el integrando entero racionalmente en .
Primera sustitución de Euler[editar]
En la integral
se puede usar la primera sustitución y establecer , así
En consecuencia, se obtiene:
Con se obtienen las fórmulas
Para encontrar el valor de
se determina usando la primera sustitución de Euler, . Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación se obtiene , a partir de lo que los términos en se cancelan. Resolviendo la ecuación, se obtiene
A partir de ahí, resulta que los diferenciales y están relacionados por
Por lo tanto,
Segunda sustitución de Euler[editar]
En la integral
se puede usar la segunda sustitución y configurar . Así
y
En consecuencia, se obtiene:
Tercera sustitución de Euler[editar]
Para evaluar
se puede usar la tercera sustitución y configurar . Así
y
A continuación,
Como se puede ver, esta es una función racional que se puede resolver usando fracciones parciales.
Generalizaciones[editar]
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar permitiendo el uso de números imaginarios. Por ejemplo, en la integral , se puede usar la sustitución . Las extensiones a los números complejos permiten usar todo tipo de sustituciones de Euler independientemente de los coeficientes de la expresión cuadrática.
Las sustituciones de Euler se pueden generalizar a una clase más amplia de funciones. Considérense las integrales de la forma
donde y son funciones racionales de y . Esta integral se puede transformar mediante la sustitución en otra integral
donde y ahora son simplemente funciones racionales de . En principio, utilizando la factorización y la descomposición en fracciones simples se puede dividir la integral en términos simples, que se pueden integrar analíticamente mediante el uso de la función dilogaritmo.[2]
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ N. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.
- ↑ Zwillinger, Daniel. The Handbook of Integration. 1992: Jones and Bartlett. pp. 145-146. ISBN 978-0867202939.
Enlaces externos[editar]