Discusión:Teorema de la función implícita

Justamente el ejemplo que viene en el dibujo, sobre la función definida implícitamente por el círculo muestra que la función no tiene porqué ser única, lo cual afirma en el texto.

Respuesta

La existencia y unicidad de la función implícita está sujeta a condiciones locales, es decir, no es válida para todos los puntos determinados por la curva. Sí lo es para aquellos en donde las derivadas con respecto a una variable, por ejemplo y, no se anulan, o bien el jacobiano de la función con respecto a la variable es no nulo. En la imagen se ve que alrededor del punto A sí existe una única función y=f(x), pero no así alrededor del punto B=(1,0). En este punto se puede despejar, sin embargo, x como función de y, ya que para un entorno de B la derivada de x^2+y^2-1 con respecto a x no se anula. En este caso, alrededor del punto B, queda $x={\sqrt {1-y^{2}}}$.

Parece poco acertado escribir $Dg(x)=-[\mathbf {D} _{y}f(x,g(x))]^{-1}\mathbf {D} _{x}f(x,g(x))\quad x\in W$ en lugar de $Dg(x)=-{\frac {\mathbf {D} _{x}f(x,g(x))}{\mathbf {D} _{y}f(x,g(x))}}\quad x\in W$

porque se puede pensar que se está indicando con el exponente -1 a la función inversa.

Documento de referencia no existe

En el artículo se hace mención a una demostración en un documento y al final se agrega la liga, pero dicho documento ya no se encuentra en esa liga. Se debe quitar esa referencia y se puede agregar una referencia a otro libro (aún y cuando no se tenga la forma de acceder a él de manera digital).