Discusión:Anillo (matemática)

Respecto a los números naturales

Respecto a poner el conjunto de números naturales $\mathbb {N}$ como ejemplo de anillo. A mi entender la suma no tiene elemento inverso en $\mathbb {N}$ (¿me equivoco?). ¿No deberíamos poner $\mathbb {Z}$ como ejemplo en lugar de $\mathbb {N}$?

No soy matemático, así que igual estoy metiendo la pata.

Un Saludo — El comentario anterior sin firmar es obra de Gruschenko (disc. • contribs • bloq). Jtico (discusión) 01:55 22 may 2007 (CEST)

Gracias por la observación. Error coregido. Jtico (discusión) 01:55 22 may 2007 (CEST)

Nomenclatura

¿Alguien sabe por qué se llama anillo a los Anillos? Es un término totalmente anti-intuitivo.— El comentario anterior sin firmar es obra de 85.85.197.38 (disc. • contribs • bloq). 1:04 30 jun 2008

Sobre leyes de simplificación

Solo una observación en la sección debajo de las definiciones. Creo que es importante notar que las leyes de simplificación no siempre se verifican (ejemplo: en los enteros módulo 6: 4*2=4*5, por decir algo). En general podemos decir que se cumple para todos los elementos sólamente cuando el anillo no tiene divisores de cero. Saludos — El comentario anterior sin firmar es obra de 190.148.152.213 (disc. • contribs • bloq). 05:14 6 mar 2009

O más específicamente que un elemento es simplificable (se puede cancelar) por un lado sólo cuando no es divisor de cero por ese lado.— El comentario anterior sin firmar es obra de 190.56.10.171 (disc. • contribs • bloq). 05:36 12 mar 2009

Sobre el concepto de inverso multiplicativo.

Soy estudiante de Matemáticas, y el concepto de inverso multiplicativo que aparece en el texto no me parece adecuado para un artículo sobre la estructura llamada Anillo. Me voy a explicar un poco mas.

Por definición en todo anillo se cumple que es al menos semigrupo, es decir, se cumple la propiedad asociativa, para la operación multiplicación del anillo. Este sólo hecho, el que se cumpla la propiedad asociativa para el producto, ya es suficiente para que en el caso de que un elemento tenga elemento inverso con respecto a la multiplicación este sea el mismo por la derecha que por la izquierda.

Vamos a demostrarlo; sea $\displaystyle a_{i}$ en inverso del elemento $\displaystyle a$ por la izquierda, $\displaystyle a_{d}$ el inverso del elemento $\displaystyle a$ por la derecha y $\displaystyle e$ el elmento neutro para la operación multiplicación. Entonces se debe cumplir que $a_{i}\cdot a=e$ y que $a\cdot a_{d}=e$, por tanto se cumple

$a_{i}=a_{i}\cdot e=a_{i}\cdot (a\cdot a_{d})=(a_{i}\cdot a)\cdot a_{d}=e\cdot a_{d}=a_{d}$

A partir de aquí la distinción entre los elemento inversos multiplicativos por la derecha y los inversos multiplicativos por la izquierda me parece equívoca en el caso de los anillos, porque precisamente en los anillo nunca se da esta distinción.

Saludos y perdonen por la impostura.--Antonio Quintana (discusión) 14:38 18 may 2009 (UTC)

Estás demostrando: "Si un elemento tiene inversos tanto por derecha como por izquierda, entonces esos dos inversos son en realidad uno solo"

Que no es lo mismo que:

"Si un elemento tiene un inverso por un lado, entonces tiene un inverso por el otro"

Esta última versión no es cierta en un anillo no conmutativo general, aunque es cierta en los anillos conmutativos y en algunos no conmutativos habituales, como las matrices de n x n.

Por ejemplo, considerar el anillo de todos los homomorfismos o transformaciones lineales en el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales (la suma es la suma de funciones en cada elemento, y el producto la composición).

Aquí, la transformación lineal derivar tiene inverso por izquierda (o por derecha, segun la notación: El punto es que primero integrar y luego derivar mantiene intacto al polinomio original), de hecho tiene infinitos, correspondientes a integrar con cualquier constante de integración. No obstante, no tiene inverso por derecha pues la transformación derivar no es monomorfismo.

Una vez entendido, este ejemplo deja claras dos cosas:

1) No vale que si un elemento tiene inverso por un lado, tiene inverso por el otro (en un anillo general).

2) El inverso por un lado puede no ser único (es necesario que no exista el inverso por el otro lado para que pueda ocurrir esto).

No se viola la unicidad del inverso porque la definición de inverso multiplicativo en un anillo exige que el inverso de un elemento sea inverso por ambos lados a la vez.

En virtud de esto, creo que el artículo debería contener información en torno a la distinción entre inversos por la derecha e inversos por la izquierda.— El comentario anterior sin firmar es obra de 190.31.37.61 (disc. • contribs • bloq). 22:35 12 ene 2010

Necesidad de sistemas algebraicos

Dubreil y Fraleigh, al definir "anillo" hablan de un conjunto con dos operaciones y enuncian los axiomas correspondientes. Esto quiere decir que las operaciones en el conjunto le dotan de una estructura algebraica. Y Hall, en su "Teoría de los grupos " y Kostrikin, en "Introducción al álgebra", enuncian que anillos , cuerpos y grupos son sistemas algebraicos. A un experto y matemático de carrera, si es algebrista mejor, le sugiero aclarar al respecto. Un tema con el nombre de sistemas algebraicos apuntaba a eso y los entendidos lo fulminaron, como Cauchy no le comprendió a Galois. Julio grillo.— El comentario anterior sin firmar es obra de Julio grillo (disc. • contribs • bloq). 17:56 18 nov 2011

Estructuras Algebraicas, Sistemas Algebraicos

Son básicamente la misma cosa. El uso o énfasis, a mi juicio, varían por razones culturales o de intención.

Los matemáticos, después de BOurbaki han usado Estructuras.

Sistemas, existían para casi lo mismo desde los tiemepos del Álgebra Universal (Kurosh). Originalmente, su objetivo era el estudios de las Estructuras Algebraicas vistas axiomáticamente y pretendía incluir o definir estrucutras adicionales por el análisis de las estructuras existentes. Un programa semjeangte al de HIlbert con su "Fundamentos de la Geometría". Mucho de esas ideas fuero superadas con la aparición de la teoría de Categorías que unifico mucho de las estructuras de las "" Estructuras".

Recientemente, con el desarrollo de la Informática han aparecido sistemas nuevos que pueden calificarse de sistemas o estructuras (dependiendo de la definición que se de). La tendencia parece ser, en esta nueva apertura, usar sistemas para aquellas "organizaciones", también llamadas "estructuras de información".que no tienen directa relación con los temas máte4máticos tradicionales (Por ejemplo "stack" o "clase" (en programación con objetos).

Sería interesante un artículo que explorará los puntos anteriores. --Rehernan (discusión) 02:27 5 abr 2015 (UTC)

Más precisión

En un anillo de restos módulo p, p primo, todos los elementos diferentes del cero, son inversibles, de modo que son 'unidades'. En el anillo de los racionales de igual modo, todos su elemento no nulos son inversibles. Pero en en el anillo de los gaussianos 1, -1, i, -i son las únicas unidades y 1 el elemento unitario.--Julio grillo (discusión) 16:40 6 dic 2011 (UTC)

Historia de la noción de Anillo

Aunque, didácticamente podemos decir que anillos conmutativos con identidad son abstracciones de los Enteros con su adición y multiplicación usual, la historia es distinta. Las fuentes iniciales ehallan en los (anillos de) polinomios y los (anillos de ) enteros algebraicos. Primeramente estudiados por Dedekind, quien define ideales (más o menos como ahora) pero no define anillos. Es Hilbert quien usa "Zahlring" (anillo de números ) para los anillos de enteros algebraicos. Posteriomente, Noether, Krull, Fraenkel definen nociones más próximas a las actuales.

Ver http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Ring_theory.html --Rehernan (discusión) 02:27 5 abr 2015 (UTC)

Enlaces externos modificados

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