Función eta de Dirichlet
η
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
en el plano complejo . El color en un punto
s
{\displaystyle s}
codifica el valor de
η
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)}
. Colores fuertes denotan valores cercanos a cero y el tono codifica el valor del argumento .
En las matemáticas , en el área de la teoría analítica de números , la función eta de Dirichlet se define como
η
(
s
)
=
(
1
−
2
1
−
s
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
donde ζ es la función zeta de Riemann . Sin embargo, también puede ser usada para definir la función zeta. Tiene una expresión en serie de Dirichlet , válida para todo número complejo s con parte real positiva, dado por
η
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
s
.
{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}
Si bien esta es convergente sólo para s con parte real positiva, es sumable Abel para todo número complejo, lo que permite definir la función eta como una función completa, y muestra que la función zeta de Riemann es meromórfica con un polo simple en s = 1.
En forma equivalente, se puede definir
η
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
exp
(
x
)
+
1
d
x
x
{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}
en la región de parte real positiva. Esto da por resultado la función eta como una transformada de Mellin .
Hardy dio una demostración simple de la ecuación funcional para la función eta, que es
η
(
−
s
)
=
2
π
−
s
−
1
s
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
s
)
η
(
s
+
1
)
.
{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}
A partir de esto, se puede obtener también en forma directa la ecuación funcional de la función eta, como así mismo encontrar otro modo de extender la definición de eta a todo el campo de los números complejos.
Método de Borwein [ editar ]
Peter Borwein utilizó aproximaciones basadas en los polinomios de Chebyshov para desarrollar un método para evaluar en forma eficiente la función eta. Si
d
k
=
n
∑
i
=
0
k
(
n
+
i
−
1
)
!
4
i
(
n
−
i
)
!
(
2
i
)
!
{\displaystyle d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}
entonces
η
(
s
)
=
−
1
d
n
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
(
d
k
−
d
n
)
(
k
+
1
)
s
+
γ
n
(
s
)
,
{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}
donde el término error γn se encuentra acotado por
γ
n
(
s
)
≤
3
(
3
+
8
)
n
(
1
+
2
|
t
|
)
exp
(
|
t
|
π
/
2
)
{\displaystyle \gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)}
donde
t
=
ℑ
(
s
)
{\displaystyle t=\Im (s)}
.
Valores particulares [ editar ]
Véase también constante zeta
η(0) = 1 ⁄2 , la suma de Abel de la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
η(−1) = 1 ⁄4 , la suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . . .
Para k entero > 1, si B k es el k -esimo número de Bernoulli entonces
η
(
1
−
k
)
=
2
k
−
1
k
B
k
.
{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}
También:
η
(
1
)
=
ln
2
{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}
, esta es la serie armónica alternada
η
(
2
)
=
π
2
12
{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}
η
(
4
)
=
7
π
4
720
{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}
η
(
6
)
=
31
π
6
30240
{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}
η
(
8
)
=
127
π
8
1209600
{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}
η
(
10
)
=
73
π
10
6842880
{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}
η
(
12
)
=
61499
π
12
15
×
3790360487
{\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {15\times 3790360487}}}
La forma general para enteros positivos pares es:
η
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
(
2
π
)
2
n
(
2
2
n
−
1
−
1
)
2
2
n
(
2
n
!
)
=
(
−
1
)
n
+
1
B
2
n
π
2
n
(
2
2
n
−
1
−
1
)
(
2
n
)
!
{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}(2\pi )^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {2^{2n}(2n!)}}=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}
Referencias [ editar ]
Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function , Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function , Numbers, constants and computation (2003)
Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series . Dover. ISBN 0-486-66165-2 .