Coordenadas ortogonales

Una transformación conforme que actúa sobre una cuadrícula rectangular. Téngase en cuenta que se conserva la ortogonalidad de la cuadrícula curva

Un sistema de coordenadas ortogonales es un sistema de coordenadas tal que en cada punto los vectores tangentes a las curvas coordenadas son ortogonales entre sí. Este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo o más generalmente sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana.

Definición

Dada una variedad de (pseudo)riemanniana ${\mathcal {M}}$, un conjunto abierto $O$ del mismo y un punto dentro de dicho conjunto abierto $m\in O\subset {\mathcal {M}}$, una carta local o "sistema de coordenadas" local puede representarse por una función:

$\phi :O\subset {\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{d}\qquad p\in O\land \phi (p)=(x^{1},x^{2},...,x^{d})\in \mathbb {R} ^{d}$

Donde d es la dimensión del espacio donde se define el sistema de coordenadas local. Las d curvas coordenadas C_i(t) y sus vectores tangentes vienen definidas por las ecuaciones:

$\phi (C_{i}(t))=(x_{(0)}^{1},...,x^{i}(t),...,x_{(0)}^{n})\qquad \mathbf {v} _{i}=C_{i}'(t)={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

El sistema de coordenadas será ortogonal si los vectores tangentes a las curvas coordenadas x_i son ortogonales, es decir, si:

$g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})=0\ (i\neq j),\qquad g(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i})=h_{i}^{2}(x^{1},x^{2},...,x^{d})$

Donde g(, ) es el tensor métrico del espacio donde se definen las coordenadas.

Propiedades

La elección de uno u otro sistema depende de las simetrías del problema geométrico o físico planteado. Al ser todos estos sistemas de coordenas ortogonales en ellos el tensor métrico tiene la forma:

$(g_{ij})={\begin{bmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{bmatrix}}$

Donde las tres componentes no nulas son los llamados factores de escala son funciones de las tres coordenadas.

Operadores vectoriales en coordenadas ortogonales

Los operadores vectoriales pueden expresarse fácilmente en términos de estas componentes del tensor métrico.

• El gradiente viene dado por:

$\mathrm {grad} \ \Phi =\nabla \Phi ={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\,{\hat {\mathbf {e} }}_{3}$

• La divergencia viene dada por:

${\mbox{div}}\ \mathbf {A} =\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(h_{2}h_{3}A_{1})+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(h_{3}h_{1}A_{2})+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(h_{1}h_{2}A_{3})\right]$

• El rotacional viene dado por el desarrollo del siguiente determinante:

${\mbox{rot}}\ \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\\partial _{x^{1}}&\partial _{x^{2}}&\partial _{x^{3}}\\h_{1}A_{1}&h_{2}A_{2}&h_{3}A_{3}\end{vmatrix}}$

• El laplaciano de una magnitud escalar viene dado por:

$\Delta \Phi =(\nabla \cdot \nabla )\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{3}}}\right)\right]$

Ejemplos en el espacio euclídeo

En el espacio euclídeo tridimensional se emplean diferentes sistemas de coordenadas, a veces, combinando tipos de coordenadas ortogonales y angulares:

• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
• Coordenadas esféricas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas cilíndricas elípticas
• Coordenadas cilíndricas parabólicas
• Coordenadas paraboloidales
• Coordenadas esferoidales oblatas
• Coordenadas esferoidales prolatas
• Coordenadas bipolares
• Coordenadas toroidales

Ejemplos en variedades diferenciales

La coordenadas usadas en la teoría de la relatividad general son el ejemplo físico más conocido de sistemas de coordenadas sobre un espacio globalmente no euclídeo.

En un espacio-tiempo estático siempre es posible escoger alrededor de cualquier punto del espacio-tiempo un sistema de coordenadas ortogonal.^{[cita requerida]}

Tabla de sistemas de coordenadas ortogonales bidimensionales

Sistema	Transformación compleja $x+iy=f(u+iv)$	Forma de las isolíneas $u$ y $v$	Comentario
Cartesiano	$u+iv$	Recta, recta
Log-polar	$\exp(u+iv)$	Circunferencia, recta	Para $u=\ln r$ equivalen a las coordenadas polares
Parabólico	${\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}$	Parábola, parábola
Dipolo puntual	$(u+iv)^{-1}$	Circunferencia, circunferencia
Elíptico	$\cosh(u+iv)$	Elipse, hipérbola	Similar al log-polar para distancias grandes
Bipolar	$\coth(u+iv)$	Circunferencia, circunferencia	Similar al dipolo puntual para distancias grandes
	${\sqrt {u+iv}}$	Hipérbola, hipérbola	Campo en el interior de un límite
	$u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}$	Elipse, parábola

Cartesiano

Polar

Logpolar

Elipse parábola

Parabólico

Dipolo puntual

sqrt(u+iv)

Elíptico

Bipolar

Logpolar inverso

Ejemplos de sistemas de coordenadas ortogonales bidimensionales (https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d).

Tabla de coordenadas ortogonales tridimensionales

Además de las coordenadas cartesianas habituales, a continuación se tabulan varias otras.​ Se utiliza la notación de intervalos para que la columna de coordenadas sea compacta: los paréntesis indican intervalos abiertos (es dedir, el valor al que acompañan es un límite del intervalo), y los corchetes indican intervalos cerrados (por el contrario, el valor al que acompañan forma parte del intervalo). Por ejemplo, en el caso de las coordenadas esféricas, los tres intervalos de los parámetros que las definen son CA-CC-CA (siendo C cerrado y A abierto).

Los tres factores de escala ($h_{1}h_{2}h_{3}$) son los valores de la diagonal del tensor métrico que definepermite el cálculo de distintas operaciones dentro del sistema de coordenadas (véase la sección Propiedades).

Coordenadas curvilíneas (q1, q2, q3)	Transformación a cartesianas (x, y, z)	Factores de escala
Coordenadas esféricas $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
Coordenadas parabólicas $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
Coordenadas bipolares cilíndricas $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas elipsoidales ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ donde $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$
Coordenadas paraboloidales ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ donde $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
Coordenadas cilíndricas $(r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
Coordenadas cilíndricas elípticas $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas esferoidales oblatas $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
Coordenadas esferoidales prolatas $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
Coordenadas biesféricas $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Coordenadas toroidales $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Coordenadas cilíndricas parabólicas $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas cónicas ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$

Referencias

• Datos: Q2588831
• Multimedia: Orthogonal coordinate systems / Q2588831