Diferencia entre revisiones de «Polígono convexo»
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[[File:Regular decagon.svg|thumb|Un [[decágono]] regular. Todos los polígonos [[polígono regular|regulares]] y [[polígono simple|simples]] son '''polígonos convexos'''.]] |
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Un '''polígono convexo''' es un [[polígono]] en el que cada uno de los [[ángulo interior|ángulos interiores]] miden a lo sumo 180 [[grado sexagesimal|grados]] o <math>\pi</math> [[radián|radianes]]. Un polígono es '''estrictamente convexo''' si todos sus ángulos internos son estrictamente menores de 180 grados y todas sus [[diagonal]]es son interiores. Todo polígono que no es convexo se denomina [[Polígono cóncavo]]. |
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Los polígonos convexos presentan una gran cantidad de propiedades matemáticas que los hace especialmente útiles en la resolución de problemas de [[geometría]], [[geometría computacional]] e [[informática gráfica]]. |
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Todos los [[triángulo]]s son polígonos convexos, salvo los triángulos degenerados. Todos los [[polígono regular|polígonos regulares]] son convexos, salvo los [[polígono estrellado| polígonos estrellados]] regulares. |
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= Propiedades de los polígonos convexos= |
= Propiedades de los polígonos convexos= |
Revisión del 21:10 28 mar 2017
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Propiedades de los polígonos convexos
Las siguientes propiedades de un polígono simple son equivalentes a la condición de convexidad:
- Todos sus ángulos internos son menores o iguales a 180 grados.
- Todo segmento cuyos extremos estén en el interior o la frontera del polígono es interno al polígono.
- Todas sus diagonales son internas al polígono (consecuencia de la propiedad anterior).
- El interior del polígono está completamente contenido en el semiplano definido por la recta soporte de cada uno de sus lados.
- El interior del polígono está completamente contenido en la región angular interior del ángulo de cada uno de sus vértices.
- El polígono coincide con el cierre convexo de sus vértices.
- Todo polígono simple y cíclico, es decir, aquellos polígonos cuyos vértices tocan todos a su circunferencia circunscrita, son convexos. Sin embargo, no todos los polígonos convexos son cíclicos.
- Todo polígono simple y regular son convexos. La condición de polígono simple es necesaria porque existen polígonos estrellados regulares.
Adicionalmente, todos los polígonos convexos cumplen las siguientes propiedades:
- La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
- Todos los polígonos convexos son monótonos.
- La suma de los ángulos de un polígono convexo de lados es radianes.[1]
- El número de diagonales de un polígono de n lados es:.
- En toda colección de al menos 3 polígonos convexos: si la intersección de cada 3 de ellos es no vacía, entonces la intersección de toda la colección es no vacía (Teorema de Helly).
- Un polígono convexo puede ser reconstruido a partir de las coordenadas de sus vértices, sin necesidad de conocer el orden de los mismos (Teorema de Krein-Milman). Esto es consecuencia de que unpolígono convexo equivale al cierre convexo de sus vértices.
- Para cualquier par de polígonos convexos cuya intersección sea vacía, puede trazarse una recta que los separa.
- De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo de área maximal cuyos vértices son todos vértices del polígono.[2]
- Todo polígono convexo con área puede ser inscrito en el interior de un triángulo de área menor o igual a . El área será únicamente si el polígono es un paralelogramo.[3]
- El diámetro medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por . Así que su diámetro medio es igual al diámetro de una circunferencia del mismo perímetro que el polígono[4]
- Para todo polígono convexo , podemos inscribir dentro un rectángulo tal que una copia homotética de , llamada , será circunscrita a y la razón de homotecia será menor o igual a 2, y además .[5]
Referencias y Enlaces externos
- ↑ Esto es consecuencia de que todo polígono convexo admite una Triangulación en abanico en (n-2) triángulos.
- ↑ -, Christos. «Is the area of intersection of convex polygons always convex?». Math Stack Exchange.
- ↑ Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.
- ↑ Jim Belk. «What's the average width of a convex polygon?». Math Stack Exchange.
- ↑ Lassak, M. (1993). «Approximation of convex bodies by rectangles». Geometriae Dedicata 47: 111. doi:10.1007/BF01263495.
- Weisstein, Eric W. «ConvexPolygon». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Polígono convexo.