Vibraciones de una membrana circular

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Uno de los posibles modos de vibración de una membrana circular idealizada

Las vibraciones de una membrana circular idealizada, esencialmente una membrana elástica de espesor uniforme fijada a un marco circular rígido, existen soluciones de la ecuación de onda con condiciones de contorno nulas.

Existe un número infinito de formas en las cuales la membrana puede vibrar, dependiendo de la forma de la deformación de la membrana en un cierto instante de tiempo inicial y de la derivada de la forma de la membrana en el instante inicial. Utilizando el método de separación de variables, es posible encontrar un conjunto de modos de vibración simples, y se puede demostrar que cualquier vibración compleja arbitraria de una membrana puede ser descompuesta en una serie de vibraciones simples (análogas a las serie de Fourier).

Motivación[editar]

El análisis del problema de la membrana vibrante permite explicar el funcionamiento de instrumentos de percusión tales como los tambores y timbales. Sin embargo, existe también una aplicación biológica en explicar el funcionamiento del tímpano. Desde un punto de vista educativo los modos de un objeto bidimensional son una forma conveniente de visualmente demostrar el significado de modos, nodos, antinodo y aun los números cuánticos. Estos conceptos son importantes para la comprensión de la estructura del átomo.

El problema[editar]

Considérese un disco de de radio centrado en el origen, el cual representa la forma quieta de la membrana del tambor. En todo instante la elevación de la forma de la membrana en un punto en medido a partir de la forma quieta de la membrana se escribirá como el cual puede tomar tanto valores positivos como negativos. Llamemos la frontera de es decir, el círculo de radio centrado en el origen, que representa el marco rígido al cual se encuentra fijada la membrana.

La ecuación matemática que gobierna la vibración de la membrana es la ecuación de onda con condiciones de contorno nulas,

A causa de la geometría circular de , será conveniente utilizar coordenadas cilíndricas, Entonces, la ecuación previa se expresa como

Donde, es una constante positiva, que es la velocidad a la cual las ondas de vibración transversal se propagan en la membrana. En función de los parámetros físicos, la velocidad de onda c, queda expresada como

donde , es la resultante radial de la membrana en la frontera de la membrana (), , es el espesor de la membrana, y es la densidad de la memebrana. Si la membrana posee una tensión uniforme, la fuerza de la tensión uniforme en un radio dado, queda expresada como

donde es la resultante de la membrana en la dirección azimutal.

El caso radial simétrico[editar]

Primero se analizan los modos de vibración posibles de una membrana que son simétricos de manera radial. O sea que la función no depende del ángulo y la ecuación de onda se simplifica quedando

Se buscan soluciones utilizando separación de variables, Substituyendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por se obtiene

El lado izquierdo de la igualdad no depende de y el lado derecho no depende de por lo tanto se infiere que ambos lados deben ser iguales a una constante Se obtienen de este modo ecuaciones separadas para y :

La ecuación de tiene soluciones que crecen o decaen exponencialmente para son lineales o constante para y son periódicas si Desde un punto de vista físico se espera que la solución al problema de la membrana que vibra sea oscilatorio en el tiempo, por lo que queda el tercer caso, cuando Entonces, es una combinación lineal de funciones seno y coseno,

Analizando la ecuación para notando que todas las soluciones de esta ecuación diferencial de segundo orden son una combinación lineal de funciones de Bessel de orden 0,

La función de Bessel no se encuentra acotada para lo que daría lugar a una solución del problema de la membrana que carece de sentido físico, por lo tanto la constante debe ser nula. También se supone que ya que de todas formas esta constante será absorbida posteriormente en las constantes y provenientes de De donde resulta que

El requerimiento que la elevación sea cero en la frontera de la membrana determina la condición

La función de Bessel posee una cantidad infinita de raíces positivas,

Se obtiene que para por lo tanto

Entonces, las soluciones simétricas radiales del problema de la membrana vibrante pueden ser expresadas en variables separadas como

donde

El caso general[editar]

El caso general, cuando también puede depender del ángulo es tratada de manera similar. Se supone existe una solución mediante separación de variables,

Substituyendo esto en la ecuación de onda y separando las variables, se obtiene

donde es una constante. Donde al igual que antes, de la ecuación para se concluye que con y

De la ecuación

resulta, multiplicando ambos lados por y separando variables, que

y

para alguna constante Dado que es periódica, con período es una variable angular, se deduce que

donde y y son ciertas constantes. Esto implica que

Analizando ahora la ecuación para su solución es una combinación lineal de funciones de Bessel y Con un argumento similar al utilizado con anterioridad, se obtiene que

donde con la -ésima raíz positiva de

Se ha demostrado que todas las soluciones en variables separadas del problema de la membrana circular vibrante son de la forma

para

Animaciones de varios modos de vibración[editar]

A continuación se muestran algunos modos de vibración junto con sus números cuánticos. Las funciones de onda análogas del átomo de hidrógeno también se indican como la frecuencia angular asociada .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • H. Asmar, Nakhle (2005). Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. p. 198. ISBN 0-13-148096-0. 

Enlaces externos[editar]