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Poliedro uniforme

Tabla

Poliedros uniformes

n	Símbolo de literal de Johnson	Símbolo de Wythoff	Nombre Poliedro dual	Familia	Grupo uniforme
1	T	$\scriptstyle 3\,|\,2\ 3$	Tetraedro Tetraedro	Sólidos de Platón	Poliedro regular
2		$\scriptstyle 2\ 3\,|\,3$	Tetraedro truncado Triaquistetraedro	Sólidos de Arquímedes
3		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 3\,|\,3$	Octahemioctaedro Octahemioctacron	Poliedro uniforme estrellado
4		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 3\,|\,2$	Tetrahemihexaedro Tetrahemihexacron	Poliedro uniforme estrellado
5		$\scriptstyle 4\,|\,2\ 3$	Octaedro Cubo	Sólidos de Platón
6		$\scriptstyle 3\,|\,2\ 4$	Cubo Octaedro	Sólidos de Platón
7		$\scriptstyle 2\,|\,3\ 4$	Cuboctaedro Dodecaedro rómbico	Sólidos de Arquímedes
8		$\scriptstyle 2\ 4\,|\,3$	Octaedro truncado Tetraquishexaedro	Sólidos de Arquímedes
9		$\scriptstyle 2\ 3\,|\,4$	Cubo truncado Triaquisoctaedro	Sólidos de Arquímedes
10		$\scriptstyle 3\ 4\,|\,2$	Rombicuboctaedro Icositetraedro deltoidal	Sólidos de Arquímedes
11		$\scriptstyle 2\ 3\ 4\,|$	Cuboctaedro truncado Dodecaedro disdiakis	Sólidos de Arquímedes
12		$\scriptstyle |\,2\ 3\ 4$	Cubo romo Icositetraedro pentagonal	Sólidos de Arquímedes
13		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 4\,|\,4$	Pequeño cubicuboctaedro Pequeño icositetraedro hexacrónico	Poliedro uniforme estrellado
14		$\scriptstyle 3\ 4\,|\,{4 \over 3}$	Gran cubicuboctaedro Gran icositetraedro hexacrónico	uniform star polyhedra with star polygon faces
15		$\scriptstyle {4 \over 3}\ 4\,|\,3$	Cubohemioctaedro Hexahemioctacron	Poliedro uniforme estrellado
16		$\scriptstyle {4 \over 3}\ 3\ 4\,|$	Cuboctaedro cubitruncado Tetradyakis hexaedro	uniform star polyhedra with star polygon faces
17		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 4\,|\,2$	Gran rombicuboctaedro no convexo Gran icositetraedro deltoidal	uniform star polyhedra with star polygon faces
18		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 2\ 4\,|$	Pequeño rombihexaedro Pequeño rombihexacron	Poliedro uniforme estrellado
19		$\scriptstyle 2\ 3\,|\,{4 \over 3}$	Hexaedro truncado estrellado Gran triaquisoctaedro
20		$\scriptstyle {4 \over 3}\ 2\ 3\,|$	Gran cuboctaedro truncado Gran disdiakis dodecaedro
21		$\scriptstyle {4 \over 3}\ {3 \over 2}\ 2\,|$	Gran rombiexaedro Gran rombiexacron
22		$\scriptstyle 5\,|\,2\ 3$	Icosaedro Dodecaedro	Sólidos de Platón
23		$\scriptstyle 3\,|\,2\ 5$	Dodecaedro Icosaedro	Sólidos de Platón
24		$\scriptstyle 2\,|\,3\ 5$	Icosidodecaedro Triacontaedro rómbico	Sólidos de Arquímedes
25		$\scriptstyle 2\ 5\,|\,3$	Icosaedro truncado Pentaquisdodecaedro	Sólidos de Arquímedes
26		$\scriptstyle 2\ 3\,|\,5$	Dodecaedro truncado Triaquisicosaedro	Sólidos de Arquímedes
27		$\scriptstyle 3\ 5\,|\,2$	Rombicosidodecaedro Hexecontaedro deltoidal	Sólidos de Arquímedes
28		$\scriptstyle 2\ 3\ 5\,|$	Icosidodecaedro truncado Hexaquisicosaedro	Sólidos de Catalan
29		$\scriptstyle |\,2\ 3\ 5$	Dodecaedro romo Hexecontaedro pentagonal	Sólidos de Arquímedes
30		$\scriptstyle 3\,|\,{5 \over 2}\ 3$	Pequeño icosidodecaedro ditrigonal Pequeño icosaedro triámbico	Poliedro uniforme estrellado
31		$\scriptstyle {5 \over 2}\ 3\,|\,3$	Pequeño icosicosidodecaedro Pequeño hexecontaedro icosacrónico	Poliedro uniforme estrellado
32		$\scriptstyle |\,{5 \over 2}\ 3\ 3$	Pequeño icosicosidodecaedro romo Pequeño hexecontaedro hexagonal	Poliedro uniforme estrellado

Poliedros uniformes

n	Símbolo de literal de Johnson	Símbolo de Wythoff	Nombre Poliedro dual	Familia	Grupo uniforme
33		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 5\,|\,5$	small dodecicosidodecahedron	small dodecacronic hexecontahedron
34		$\scriptstyle 5\,|\,2\ {5 \over 2}$	small stellated dodecahedron	great dodecahedron
35		$\scriptstyle {5 \over 2}\,|\,2\ 5$	great dodecahedron	small stellated dodecahedron
36		$\scriptstyle 2\,|\,{5 \over 2}\ 5$	dodecadodecahedron	medial rhombic triacontahedron
37		$\scriptstyle 2\ {5 \over 2}\,|\,5$	truncated great dodecahedron	small stellapentakis dodecahedron
38		$\scriptstyle {5 \over 2}\ 5\,|\,2$	rhombidodecadodecahedron	medial deltoidal hexecontahedron
39		$\scriptstyle 2\ {5 \over 2}\ 5\,|$	small rhombidodecahedron	small rhombidodecacron
40		$\scriptstyle |\,2\ {5 \over 2}\ 5$	snub dodecadodecahedron	medial pentagonal hexecontahedron
41		$\scriptstyle 3\,|\,{5 \over 3}\ 5$	ditrigonal dodecadodecahedron	medial triambic icosahedron
42		$\scriptstyle 3\ 5\,|\,{5 \over 3}$	Gran dodecicosidodecaedro ditrigonal	Gran hexacontaedro dodecacrónico ditrigonal
43		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 3\,|\,5$	small ditrigonal dodecicosidodecahedron	small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron
44		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 5\,|\,3$	icosidodecadodecahedron	medial icosacronic hexecontahedron
45		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 3\ 5\,|$	icositruncated dodecadodecahedron	tridyakis icosahedron
46		$\scriptstyle |\,{5 \over 3}\ 3\ 5$	snub icosidodecadodecahedron	medial hexagonal hexecontahedron
47		$\scriptstyle {3 \over 2}\,|\,3\ 5$	great ditrigonal icosidodecahedron	great triambic icosahedron
48		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 5\,|\,3$	great icosicosidodecahedron	great icosacronic hexecontahedron
49		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 3\,|\,5$	small icosihemidodecahedron	small icosihemidodecacron
50		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 3\ 5\,|$	small dodecicosahedron	small dodecicosacron
51		$\scriptstyle {5 \over 4}\ 5\,|\,5$	small dodecahemidodecahedron	small dodecahemidodecacron
52		$\scriptstyle 3\,|\,2\ {5 \over 2}$	great stellated dodecahedron	great icosahedron
53		$\scriptstyle {5 \over 2}\,|\,2\ 3$	great icosahedron	great stellated dodecahedron
54		$\scriptstyle 2\,|\,{5 \over 2}\ 3$	great icosidodecahedron	great rhombic triacontahedron
55		$\scriptstyle 2\ {5 \over 2}\,|\,3$	great truncated icosahedron	great stellapentakis dodecahedron
56		$\scriptstyle 2\ {5 \over 2}\ 3\,|$	rhombicosahedron	rhombicosacron
57		$\scriptstyle |\,2\ {5 \over 2}\ 3$	great snub icosidodecahedron	great pentagonal hexecontahedron
58		$\scriptstyle 2\ 5\,|\,{5 \over 3}$	small stellated truncated dodecahedron	great pentakis dodecahedron
59		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 2\ 5\,|$	truncated dodecadodecahedron	medial disdyakis triacontahedron
60		$\scriptstyle |\,{5 \over 3}\ 2\ 5$	inverted snub dodecadodecahedron	medial inverted pentagonal hexecontahedron
61		$\scriptstyle {5 \over 2}\ 3\,|\,{5 \over 3}$	great dodecicosidodecahedron	great dodecacronic hexecontahedron
62		$\scriptstyle {5 \over 3}\ {5 \over 2}\,|\,3$	small dodecahemicosahedron	small dodecahemicosacron
63		$\scriptstyle {5 \over 3}\ {5 \over 2}\ 3\,|$	great dodecicosahedron	great dodecicosacron
64		$\scriptstyle |\,{5 \over 3}\ {5 \over 2}\ 3$	great snub dodecicosidodecahedron	great hexagonal hexecontahedron
65		$\scriptstyle {5 \over 4}\ 5\,|\,3$	great dodecahemicosahedron	great dodecahemicosacron
66		$\scriptstyle 2\ 3\,|\,{5 \over 3}$	great stellated truncated dodecahedron	great triakis icosahedron
67		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 3\,|\,2$	uniform great rhombicosidodecahedron	great deltoidal hexecontahedron
68		$\scriptstyle {5 \over 3}\ 2\ 3\,|$	great truncated icosidodecahedron	great disdyakis triacontahedron
69		$\scriptstyle |\,{5 \over 3}\ 2\ 3$	great inverted snub icosidodecahedron	great inverted pentagonal hexecontahedron
70		$\scriptstyle {5 \over 3}\ {5 \over 2}\,|\,{5 \over 3}$	great dodecahemidodecahedron	great dodecahemidodecacron
71		$\scriptstyle {3 \over 2}\ 3\,|\,{5 \over 3}$	great icosihemidodecahedron	great icosihemidodecacron
72		$\scriptstyle |\,{3 \over 2}\ {3 \over 2}\ {5 \over 2}$	small retrosnub icosicosidodecahedron	small hexagrammic hexecontahedron
73		$\scriptstyle {3 \over 2}\ {5 \over 3}\ 2\,|$	great rhombidodecahedron	great rhombidodecacron
74		$\scriptstyle |\,{3 \over 2}\ {5 \over 3}\ 2$	great retrosnub icosidodecahedron	great pentagrammic hexecontahedron
75		$\scriptstyle |\,{3 \over 2}\ {5 \over 3}\ 3{5 \over 2}$	great dirhombicosidodecahedron	great dirhombicosidodecacron
76		$\scriptstyle 2\ 5\,|\,2$	pentagonal prism	pentagonal dipyramid
77		$\scriptstyle |\,2\ 2\ 5$	pentagonal antiprism	pentagonal trapezohedron
78		$\scriptstyle 2\ {5 \over 2}\,|\,2$	pentagrammic prism	pentagrammic dipyramid
79		$\scriptstyle |\,2\ 2\ {5 \over 2}$	Antiprisma pentagonal	Deltaedro pentagonal
80		$\scriptstyle |\,2\ 2\ {5 \over 3}$	pentagrammic crossed antiprism	pentagrammic concave deltohedron

Un poliedro uniforme es un poliedro que tiene vértices idénticos, como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot.​ El las últimas décadas del siglo 19, Albert Badoureau descubrió 37 de ellos no convexos.

En 1973, Harold Scott MacDonald Coxeter comprobó que los vértices de un poliedro poliedro uniforme se encuentran todos en una esfera cuyo centro está en su centroide geométrico del poliedro.​

Harold Scott MacDonald Coxeter en 1954, conjeturó que hay 75 poliedros uniformes en los que ocurre que sólo dos caras reúnen en cada arista; posteriormente lo demostró.​Los cinco prismas pentagonales también pueden considerarse poliedros uniformes, llevando el total a 80. Además, hay otros dos poliedros en el que cuatro caras se encuentran en cada arista: el Gran icosidodecaedro complejo y el Pequeño icosidodecaedro complejo, ambos son compuestos de dos poliedros uniformes.

1

Except for a single non-Wythoffian case, uniform polyhedra can be generated by Wythoff's kaleidoscopic method of construction. In this construction, an initial vertex inside a special spherical triangle PQR is mapped to all the other vertices by repeated reflections across the three planar sides of this triangle. Similarly, PQR and its kaleidoscopic images must cover the sphere an integral number of times which is referred to as the density d of PQR. The density d>1 is dependent on the choice of angles pi/p, pi/q, pi/r at P, Q, R respectively, where p, q, r are reduced rational numbers greater than one. Such a spherical triangle is called a Schwarz triangle, conveniently denoted (pqr). Except for the infinite dihedral family of (p22) for p=2, 3, 4, ..., there are only 44 kinds of Schwarz triangles (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973). It has been shown that the numerators of p, q, r are limited to 2, 3, 4, 5 (4 and 5 cannot occur together) and so the nine choices for rational numbers are: 2, 3, 3/2, 4, 4/3, 5, 5/2, 5/3, 5/4 (Messer 2002).

A excepción de un solo caso no Wythoffian, poliedros uniforme puede ser generado por el método caleidoscópica de Wythoff de construcción. En esta construcción, un vértice inicial dentro de un triángulo esférico PQR especial se asigna a todos los otros vértices por los reflejos repetidos en los tres lados planos de este triángulo. Del mismo modo, PQR y sus imágenes caleidoscópicos deben cubrir la esfera un número entero de veces que se conoce como la densidad d de PQR. La densidad d> 1 depende de la elección de los ángulos pi / p, pi / q, pi / r en P, Q, R, respectivamente, donde p, q, r se reducen los números racionales mayor que uno.​ Tal un triángulo esférico se llama un triángulo Schwarz, convenientemente denota (PQR). Excepto para la familia diedro infinito de (p22) para p = 2, 3, 4, ..., sólo hay 44 tipos de triángulos Schwarz (Coxeter et al. 1954, 1973 Coxeter). Se ha demostrado que los numeradores de p, q, r se limitan a 2, 3, 4, (no puede ocurrir juntas 4 y 5) 5 y así los nueve opciones para números racionales son: $\scriptstyle {2}$, $\scriptstyle {3}$, $\scriptstyle {3 \over 2}$, $\scriptstyle {4}$, $\scriptstyle {4 \over 3}$, $\scriptstyle {5}$, $\scriptstyle {5 \over 2}$, $\scriptstyle {5 \over 3}$, $\scriptstyle {5 \over 4}$ (Messer 2002).​

2

The names of the 75 uniform polyhedra were first formalized in Wenninger (1983, first printed in 1971), based on a list prepared by N. Johnson a few years earlier, as slightly modified by D. Luke. Johnson also suggested a few modifications in the original nomenclature to incorporate some additional thoughts, as well as to undo some of Luke's less felicitous changes. The "List of polyhedra and dual models" in Wenninger (1983) gives revised names for several of the uniform polyhedra. The names of the five pentagonal prisms appeared in Har'El (1993).

Los nombres de los 75 poliedros uniformes se formalizaron por primera vez en Wenninger (1983, impresa por primera vez en 1971), sobre la base de una lista elaborada por N. Johnson unos años antes, como ligeramente modificado por D. Lucas. Johnson también sugirió algunas modificaciones en la nomenclatura original al incorporar algunos pensamientos adicionales, así como para deshacer algunos de los cambios menos afortunadas de Luke. La "Lista de los poliedros y los modelos duales" en Wenninger (1983) da los nombres revisados ​​para varios de los poliedros uniformes. Los nombres de los cinco prismas pentagonales aparecieron en Har'el (1993).

3

Source code and binary programs for generating and viewing the uniform polyhedra are also available at http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/. The following depictions of the polyhedra were produced by R. Maeder's UniformPolyhedra.m package for Mathematica. In this package, uniform polyhedra are computed to the desired numerical precision by numerically solving the defining fundamental equation, and lengths are normalized to give a midradius of $\scriptstyle \rho =1$.

El código fuente y los programas binarios para la generación y visualización de los poliedros uniformes también están disponibles en http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/. Las siguientes descripciones de los poliedros fueron producidos por paquete UniformPolyhedra.m de R. Maeder para Mathematica. En este paquete, poliedros uniformes se calculan con la precisión numérica deseada resolviendo numéricamente la ecuación fundamental definir y longitudes se normalizó en hacerle un midradius de \ scriptstyle \ rho = 1.

4

The following table gives the names of the uniform polyhedra and their duals as given in Wenninger (1983) and Har'El (1993) and with the numbering of Maeder.. Coxeter et al. (1954) give many properties of the uniform solids, and Coxeter et al. (1954), Johnson (2000) and Messer (2002) give the quartic equation for determining the central angle subtending half an edge. The single non-Wythoffian case is the great dirhombicosidodecahedron U_(75) which has pseudo-Wythoff symbol |3/2 5/3 3 5/2.

La siguiente tabla muestra los nombres de los poliedros uniformes y sus duales tal como figura en Wenninger (1983) y Har'el (1993) y con la numeración de Maeder .. Coxeter et al. (1954) dan muchas propiedades de los sólidos uniformes, y Coxeter et al. (1954), Johnson (2000) y Messer (2002) dan la ecuación de cuarto para la determinación del ángulo central que subtiende medio de un borde. El caso no Wythoffian sola es la gran U_ dirhombicosidodecahedron (75) que tiene símbolo pseudo-Wythoff | 3/2 5/3 5/2 3. The polyhedron vertices of a uniform polyhedron all lie on a sphere whose center is their geometric centroid (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973, p. 44. The polyhedron vertices joined to another polyhedron vertex lie on a circle (Coxeter et al. 1954).

5!

En el año 2000, Norman Johnson propuso una nueva revisión de los nombres «oficiales» de los poliedros uniformes y sus duales y, al mismo tiempo, ideó un símbolo literal para cada poliedro uniforme. Publicó una lista en la que para cada uno se da el número con el que fue listado por Magnus Wenniger, su símbolo Schläfli modificado (después de Coxeter), un símbolo literal, y su nuevo nombre designado. ​ También enumeró los poliedros duales de cada uno, si lo tiene, porque en algunos casos lo poliedros duales presentan anomalías como vértices coincidentes o caras que se extiende hasta el infinito.​

En el nuevo sistema de Johnson, los poliedros uniformes se clasifican de la siguiente manera:

1. Poliedros regulares: (figuras vértices poligonales regulares)
2. Poliedros cuasirregulares: (rectangular o figuras de vértice ditrigonales)
3. Poliedros versirregulares: (figuras de vértice orthodiagonal)
4. Poliedros regulares truncados: (isósceles figuras vértices triangulares)
5. Poliedros cuasi-cuasi-regulares: (figuras de vértice trapezoidal)
6. Poliedros versi-cuasi-regulares: (figuras de vértice dipteroidal)
7. Poliedros cuasirregulares truncados: (figuras de vértice triangular escaleno),
8. Poliedros cuasirregulares romos: (figuras de vértice pentagonal, hexagonal u octogonal)
9. Prismas: (hosohedros truncados)
10. Antiprismas y Antiprismas cruzados: (dihedros romos)

6

Here is a brief description of Johnson's symbols for the uniform polyhedra (Johnson). The star operator * appended to "D" or "E" replaces pentagons {5} by pentagrams {5/2}. The bar operator | indicates the removal from a related figure of a set (or sets) of faces, leaving "holes" so that a different set of faces takes their place. Thus, C|O is obtained from the cuboctahedron CO by replacing the eight triangles by four hexagons. In like manner, rR'|CO has the twelve squares of the rhombicuboctahedron rCO and the six octagons of the small cubicuboctahedron R'CO but has holes in place of their six squares and eight triangles. The operator "r" stands for "rectified": a polyhedron is truncated to the midpoints of the edges. Operators "a", "b", and "c" in the Schläfli symbols for the ditrigonary (i.e., having ditrigonal vertex figures) polyhedra stand for "altered," "blended," and "converted." The operator "o" stands for "ossified" (after S. L. van Oss). Operators "s" and "t" stand for "simiated" (snub) and "truncated."

He aquí una breve descripción de los símbolos de Johnson para los poliedros uniformes (Johnson). El operador de la estrella * anexa a "D" o "E" reemplaza pentágonos {5} por pentagramas {2.5}. El operador de bar | indica la remoción de una figura relacionada de un conjunto (o conjuntos) de caras, dejando "agujeros" de manera que un conjunto diferente de caras toma su lugar. Por lo tanto, C | O se obtiene de la CO cuboctaedro mediante la sustitución de los ocho triángulos por cuatro hexágonos. De la misma manera, rR '| CO tiene las doce plazas de la rhombicuboctahedron RCO y los seis octógonos de la pequeña R'CO cubicuboctahedron pero tiene agujeros en lugar de sus seis plazas y ocho triángulos. El operador "r" es sinónimo de "rectificado": un poliedro se trunca a los puntos medios de los bordes. Operadores "a", "b" y "c" en los símbolos de Schläfli para el ditrigonary (es decir, con figuras de vértice ditrigonales) poliedros significan "alterado", "mezclados", y "convertido". El operador "o" representa "osificada" (después de SL van Oss). Operadores "s" y "t" significa "simiated" (chata) y "truncada".