Usuario:Lnegro/taller

Aún cuando no hay una definición formal generalmente aceptada del término axiomatica (tambien conocido como teoría de los postulados ​, este ha sido descrito como siendo una rama de la metodo matematico o de la lógica matemática ​. El concepto se puede entender como refiriendose a la concepcion y tratamiento de los axiomas o postulados.

De acuerdo a Lakatos, la introduccion de axiomas a un area determinada de las matematicas marca la diferencia entre matematicas informales y formales. De acuerdo a Awodey (op. cit) la introduccion de los axiomas (en su sentido moderno) es parte de una tendencia incremental a la sistematizacion y abstraccion en las matematicas modernas.

Es necesario mantener presente una diferencia entre la concepcion y uso “tradicional” de los axiomas, etc, (el metodo de Euclides) y el moderno (metodo euclidico o euclidiano). ( ​ y ver mas abajo).

Introduccion

Axiomatica de Euclides

Euclides comienza sus Los elementos (Libro I: Preliminarios) introduciendo varios conceptos que llegaron a ser basicos en el desarrollo posterior del metodo matematico: ‘’’definiciones’’’ (por ejemplo: un “punto” es aquello que no tiene parte).- ‘’’postulados’’’ (por ejemplo: “es posible trazar una linea desde un punto a cualquier otro”).- y “nociones comunes” (en el presente llamados “axiomas”) (por ejemplo: “cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre si”). A partir de esos conceptos basicos, Euclides demuestra “proposiciones” (en el presente, teoremas) ​. (En total, la obra de Euclides contiene 131 definiciones repartidas en 13 libros. En cada uno de estos 13 libros aparecen invariablemente 5 postulados y 5 “nociones comunes”.)

Sin embargo, la diferencia entre esos conceptos no es tan clara como seria deseable. Dejando de lado el problema de si las definiciones son explicitas y finales ​ (que es “tener partes”? ) el problema que preocupo generaciones de matematicos es la diferencia entre postulados y “nociones comunes”.

A primera vista los postulados incluyen los procedimientos o reglas de construcción de diferentes cuerpos o elementos geometricos basicos: los postulados 1 y 2 indican para qué utilizar la regla: para unir dos puntos cualesquiera (postulado 1) y para prolongar una recta finita dada (postulado 2). El postulado 3 indica qué el compás se emplea para trazar círculos. Sin embargo, los postulados 4 y 5 no son reglas de construcción propiamente tales. El postulado 4 (todos los ángulos rectos son iguales entre sí) parece más bien un principio general (noción comun?) que una construcción con un instrumento. Y el quinto postulado parece ser una especie de consecuencia: aquella que indica que «si una línea recta incide sobre dos líneas rectas, hace ángulos internos por un mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas prolongadas indefinidamente se encuentran por el lado en que están los ángulos menores que dos ángulos rectos». ​.

La problematica se centro en ese quinto postulado (también llamado "Postulado de las paralelas"). No es que se dudara que es correcto, sino que se considero que mas que postulado deberia ser un proposicion (teorema) y, consecuentemente, ser demostrable a partir de los otros postulados y nociones comunes (para una descripcion de las tentativas de obtener esa demostracion, ver Dunham: op. cit.)

Sin embargo los conceptos, metodo y terminologia propuestos por Euclides continuaron en uso general hasta el siglo XIX. considerandose los axiomas como verdades evidentes ​ ​ Obviamente se introdujeron algunas modificaciones menores. Por ejemplo, y en lo que concierne a este articulo, las "nociones comunes" llegaron a ser llamadas axiomas (el termino mismo fue introducido por Aristóteles ​), y su concepcion llego a ser, junto a la de los postulados, mas general: "Los primeros principios, que los hay de dos clases: los especificos a cada ciencia, llamados postulados y los comunes a todas, los axiomas" ​ (Para una vision general de la evolucion del concepto axioma, ver DICCIONARIO ENCICLOPÉDICO HISPANO-AMERICANO (1887-1910) op. cit y dese atencion a la concepcion kantiana: "Kant ha empleado el nombre de axiomas para designar los principios que sirven de base a las ciencias matemáticas. Consisten los axiomas, según Kant, en juicios totalmente independientes de la experiencia, de evidencia inmediata y que tienen como origen común la intuición pura del espacio y del tiempo. Los denomina axiomas de la intuición y también juicios sintéticos a priori." ​).

Transicion

La transicion desde la concepcion anterior a la moderna se debio a desarrollos en dos areas.

A nivel filosofico se debio principalmente al cuestionamiento de la concepcion kantiana del axioma como verdad a priori: "Kant no tenía razón al afirmar que los axiomas de la geometría son juicios sintéticos a priori, tesis que constituye un punto fundamental de partida en la elaboración de su propuesta epistemológica y en su reflexión filosófica sobre el espacio y la geometría euclídea. La tesis falla en dos puntos: uno, al afirmar que los axiomas de la geometría tienen una validez apodíctica; y dos, al implicar que el conocimiento de la estructura espacial del mundo se obtiene de forma a priori, independientemente de la observación y la experiencia.... teniendo siempre como referencia las ideas del propio Kant, se recurre a una exposición orientada históricamente por las ideas de los principales protagonistas del debate: Euclides, Newton, Leibniz, Kant, Poincaré y Einstein." ​.

A nivel matematico la superacion de la concepcion de los axiomas como verdades evidentes se derivaron del desarrollo de las geometrías no euclidianas, que tuvieron lugar como resultado ultimo de las tentativas de sustentar el ya mencionado quinto postulado. Fundamental en ese cambio conceptual es el trabajo de Hilbert: "El curso de 1894 titulado 'Fundamentos de la geometría' es de hecho el primer tratamiento axiomático de cualquier rama de la matemática realizado por Hilbert. El método axiomático, en el sentido que más tarde adquirirá en sus trabajos, no está aquí obviamente desarrollado como en los cursos de 1898/99 y en la monografía de 1899. Es decir, por un lado, Hilbert no lleva a cabo una investigación axiomática tal como es definida en la introducción de su curso de 1891, a saber: "una investigación sistemática de aquellas geometrías que surgen cuando uno o más axiomas [de la intuición] son dejados de lado" (Hilbert 1891a, p. 22) o reemplazados por su negación. Tampoco el método de proporcionar distintas interpretaciones o 'modelos' está presente en el grado en el que es desarrollado posteriormente. Sin embargo, las notas elaboradas por Hilbert para este curso constituyen un inicio del análisis axiomático, y en este sentido es posible afirmar que este texto prepara el camino para los posteriores tratamientos meta-geométricos (i.e. estudio de la independencia y consistencia de un sistema axiomático geométrico)." ​ .

En otras palabras: si tratamos de demostrar la correccion del quinto postulado por medio de una reduccion al absurdo y sugerimos que, por ejemplo, por un punto externo a una recta se pueden trazar mas de una paralela a esa recta, no llegamos a un absurdo, sino que contruimos un nuevo sistema geometrico (o nueva geometria), tan coherente y comprensivo como el que Euclides construyo. Eso sugiere que es posible considerar los axiomas no como verdades evidentes a priori, validas en todo lugar y momento, sino como verdades que pueden ser aceptadas o rechazadas a fin de examinar las consecuencias de esa aceptacion o rechazo. Esa examinacion de las consecuencias de el rechazo de un axioma determinado mientras se mantiene el resto se llama "análisis axiomático".

RESTO

La filosofía de las matemáticas

El método axiomático (o axiomática o teoria axiomatica) es el procedimiento, basado en la propuesta de un conjunto de proposiciones o enunciados considerados verdaderos o validos, que sirven como partida para la generacion y demostracion de una variedad de hipotesis por medio de esas proposiciones "verdaderas" y un sistema logico, el todo organizado en un sistema axiomatico. El metodo, originado en la matematica, es en la actualidad utilizado en una variedad de disciplinas. ​.

El proceso de aplicar la axiomatica a algun cuerpo de conocimiento es generalmente conocido como formalizacion' o axiomatizacion. ​

Es importante mantener presente que un sistema formal no es equivalente a una axiomatica. El sistema formal es una abstraccion a partir de lo axiomatico ​. La axiomatica no se preocupa de contenidos, sino de las estructuras; sus relaciones y el como pueden ser organizadas en una investigacion. ​.

Puesto de otra forma. Un sistema axiomatico generalmente consiste de A) los postulados, es decir, las afirmaciones admitidas como verdaderas. B) Las "nociones comunes" o las reglas lógicas básicas que se usaran. C) Algun criterio de demarcacion que establece los limites de lo aceptable en el sistema. Todas las deducciones aceptables y demostrable, esto es, los teoremas, se deducen de tales premisas. La axiomatica se refiere a la definicion o concepcion, obtencion, tratamiento y manipulacion de esos elementos en general.

La axiomatica puede dividirse en "estricta o formal" y "blanda o menos formal" ​

Postulados basicos o axiomas

En la concepcion actual, un axioma o postulado es un supuesto que se acepta sin demostrar. La funcion de esos supuestos es permitir la demostracion de otros elementos en una teoria. ​

Hay dos aspectos del concepto matematico moderno acerca de axiomas que parece conveniente resaltar: Primero: el axioma busca evitar depender en cualquier concepto previo. Esto implica evitar dependencia de la intuicion matematica y/o lexica. En otras palabras, los elementos conceptuales utilizados en los axiomas son no solo indefinidos, sino considerados carentes de sentido mas alla que el que se les otorga en el axioma. (Hilbert decia "Debemos ser capaces de decir en cualquier momento -en lugar de puntos, lineas rectas y planos, mesas, sillas y cañas de cerveza" ​. Siguiendo de lo anterior, las proposiciones que se derivan de esos axiomas pueden ser interpretados de manera diferente. Lo que parece implicar que la verdad o no de una proposicion depende como se definan los terminos utilizados en esos axiomas. (pero ver op. cit)

De lo anterior A) algunos podrian ser cambiados, o no aceptados, lo que generaria un sistema axiomatico alternativo. B) como se generan (literalmente: de donde aparecen). C) que sucede cuando se introducen? tiene su introduccion alguna consecuencia de importancia? que sucede si se introducen apresuradamente.

Ver mas adelante

http://www.slideshare.net/henry0124/4-el-metodo-axiomatico-en-la-ciencia introduccion simplista

http://www.filoinfo.bem-vindo.net/filosofia/modules/lexico/entry.php?entryID=563 lo mismo, poco mas sofisticado, en portugues

== de http://www.librosaulamagna.com/libro/LA-AXIOMATICA.-/225601/14034 LA AXIOMÁTICA] AUTOR/ES: Robert Blanché. ISBN: 9789681666347 AÑO: 2002 PUNTOS CLAVE: La axiomática se define como el proceso mediante el cual todo un sistema, por ejemplo una ciencia, puede ser generado empleando reglas específicas y la deducción lógica, partiendo de ciertas proposiciones básicas que son los axiomas y los postulados. La idea básica es la de descubrir un modelo para los postulados del sistema axiomático, de modo que cada uno de ellos constituya una afirmación verdadera. A esta tarea se dedicaron Peano y Hilbert, considerados los padres de la axiomática formal, la cual experimentó un proceso de reestructuración al surgir la teoría de los conjuntos de Cantor, cuya asimilación da lugar a la axiomática moderna. Esta serie de fases es descrita con precisión y elegancia por el sabio francés Robert Blanché.

==

L'axiomatique considérée comme mode idéal de rédaction d'un traité scientifique est une conception de la mathématique grecque : les Éléments d'Euclide constituent, à cette époque (IIIe s. av. J.-C.), la tentative la plus audacieuse de réaliser cet idéal. L'exécution de ce vaste programme laisse cependant bien à désirer.

(basado en lo que Boubaks plantea)

http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/1-origines-de-l-axiomatique-mathematique/

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de http://www.cnrtl.fr/definition/axiomatique

b) [L'accent est mis sur l'aboutissement de cette méthode] Construction, système, théorie axiomatique; le système axiomatique des mathématiques exposé par Bourbaki : 4. Un système axiomatique − on dit aussi : une théorie axiomatisée ou, plus brièvement, une axiomatique − est donc la forme achevée que prend, aujourd'hui, une théorie déductive. R. Blanché, L'Axiomatique,Paris, P.U.F., 1959, p. 3.

B.− Emploi subst. fém. 1. Au sens large, dans le lang. sc. en gén. Méthode ayant pour objet de rassembler et de « structurer » les axiomes et les principes de base d'une science. Synon. abstraction, généralisation, schématisation : 5. Dans le symbolisme que nous avons décrit précédemment et avec l'aide de machines à calculer arithmétiques, les trois problèmes de la déduction, de la démonstration et de l'axiomatique trouvent aisément une solution complète. L. Couffignal, Les Machines à penser,1964, p. 114. Rem. 1. Largement attesté ds les dict. du xxes. à partir de Lar. encyclop. 2. L'axiomatique comme méthode peut être caractérisée selon son point d'application ou son niveau de progression. Cf. les syntagmes attestés chez Bachelard, Bourbaki, Gonseth, chez les différents historiens de la log. et les lexicographes Rob. Suppl. 1970 et Lar. encyclop. Suppl. 1968 : axiomatique d'une structure; axiomatique abstraite, formelle, intuitive.

== procedimiento de axiomatizar Ver Création du système formel en

http://www.larousse.fr/encyclopedie/nom-commun-nom/axiomatique/24825

=

Selon Bourbaki, Platon a défini là ce qu’on appelle méthode axiomatique ou, selonl’expression de Pieri, méthode hypothético-déductive. Comme son nom l’indique, elleconsiste à partir d’ hypothèses (appelées par abus de langage « axiomes » 4) pour en déduire les propositions dites alors théorèmes. Mais la comparaison avec la définition de la démonstration par Platon montre que dans ce cas, au lieu de la démonstration proprement dite, Bourbakis’est rabattu sur ce que Platon appelle plus précisément des suppositions ou des hypothèses .Dans un raisonnement quelconque, si les prémisses ne sont que des suppositions, la validitédu raisonnement ne pourra transmettre aux conclusions que ce statut de suppositions. C’est cequi est appelé dans les controverses courantes sur les fondements des mathématiques la thèsedu « if-then-ism »

de J. Cl. Dumoncel LES FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES COURS D’EPISTEMOLOGIE DES MATHEMATIQUES p 6

== http://www.philosciences.org/notices/document.php?id_document=217 (re Blanche)

Un système axiomatique est la forme achevée que prend une théorie déductive. Ce système implique que soient totalement explicités les termes non définis et les propositions non démontrées, ces dernières étant posées comme de simples hypothèses à partir desquelles toutes les propositions peuvent se construire selon des règles logiques expressément fixées. Mais une méthode semble gratuite tant que l’on ignore quelles raisons l’ont commandée. Pour faire comprendre la fonction de l’axiomatique, il est donc nécessaire d’exposer d’abord les insuffisances auxquelles elle se propose de remédier (Chap. I, «Les défauts de l’appareil euclidien» : postulats, figures, axiomes, définitions, démonstration). Mais cette axiomatique elle-même n’a pas surgi parfaite d’un seul coup : soumise aux exigences de rigueur qui l’avaient fait naître, elle a subi à son tour un lent processus de transformation. On distinguera deux grandes étapes dans son développement, – la première se situant au tournant du siècle (Chap. II, «Les premières axiomatiques» : naissance de l’axiomatique, antériorité d’un système, indéfinissables et indémontrables, définitions par postulats, modèles, isomorphisme, consistence et complétude, décidabilité, indépendance, économie ...), – la seconde commençant vers 1920 (Chap. III, «Les axiomatiques formalisées» : symbolisation, formalisation, calcul, métamathématique, démonstrations de non-contradiction, axiomatisation de la logique, métalogique). L’ouvrage s’attache alors à montrer la portée d’une telle méthode, tant par son usage proprement scientifique (Chap. IV, «La méthode axiomatique dans la science» : l’axiomatisation des mathématiques, l’axiomatisation dans les autres sciences, avantages et limites de la méthode axiomatique), que par ses implications philosophiques (Chap. V, «Portée philosophique de l’axiomatique» : philosophie des mathématiques, philosophie de la science, philosophie de la connaissance). ==

Nicolas Raimbaud (2010): La théorie des ensembles selon Bourbaki

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http://www.universalis.fr/encyclopedie/axiomatique/

L'axiomatique commence par un inventaire exhaustif de toutes les propositions que l'on admet sans démonstration et qui ne sont pas des définitions ; ces propositions, appelées axiomes, ou parfois postulats, constitueront le point de départ de la théorie que l'on se propose d'édifier. Parmi les axiomes d'une théorie figurent des règles de déduction (appelées aussi axiomes de la logique) qui sont communes à toutes les sciences déductives. À partir de ces données, on s'astreint à démontrer les autres résultats, ou théorèmes, de la théorie considérée, en proscrivant toute affirmation non issue des axiomes ; en particulier, tout recours à l'expérience sensible ou au sentiment subjectif est à rejeter.

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Christian Houzel (2004): Le rôle de Bourbaki dans les mathématiques du vingtième siècle

En suivant Hilbert, Bourbaki a adopté la méthode axiomatique d’exposition des mathématiques. Il s’en explique dans un article de 1948, « L’architecture des mathématiques » publié dans Les grands courants de la pensée mathématique. Cette méthode consiste, après avoir analysé les démonstrations des théorèmes pour en extraire les hypothèses utilisées, à poser ces hypothèses comme axiomes de la théorie et à ne plus faire intervenir que ces axiomes dans les démonstrations. Il en résulte une théorie beaucoup plus abstraite, mais dont le champ d’application est plus vaste. La méthode s’avère féconde, car elle permet de transporter des idées venant d’une application particulière au niveau abstrait et d’utiliser ensuite ces idées dans toutes les autres applications, mettant ainsi en œuvre une sorte de transfert d’intuition. La méthode axiomatique avait été élaborée par Hilbert pour analyser les fondements de la géométrie élémentaire et elle s’était développée en algèbre ainsi qu’en topologie générale. Bourbaki voulait l’étendre à l’ensemble des mathématiques.

==

Definition of AXIOMATICS

1

a set of axioms : an axiomatized system

2

the study or a theory of axioms or axiom systems

http://www.merriam-webster.com/dictionary/axiomatics

=

axiomático, ca. (De axioma). 1. adj. Incontrovertible, evidente. 2. f. Conjunto de definiciones, axiomas y postulados en que se basa una teoría científica.

=

http://books.google.es/books?id=KEUqkwQwjvsC&pg=PA398&lpg=PA398&dq=axiomatica+%2B+matematica&source=bl&ots=NFtEWQOYij&sig=HIjCi_Bh2-8Elw29JcVuba32myk&hl=en&sa=X&ei=jOTqUJ-EJqya1AW-6oHwAw&ved=0CFcQ6AEwBTgo#v=onepage&q=axiomatica%20%2B%20matematica&f=false

p 397-98

de Julián Velarde Lombraña Historia de la Lógica

La Axioma ́tica de la Teor ́ıa de Conjuntos

Teoría axiomática

dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/3045235.pdf [PDF] ¿AXiOMÁtiCA O EMPiRisMO? sOBRE EL UsO DE LAs ... - Dialnet

¿ Axiomática o empirismo? Sobre el uso de las matemáticas en economía 

1966 La verdad en la matematica axiomatica

==

Leo Corry Nicolas Bourbaki and the Concept of Mathematical Structure critica a Bourbaki. Podria ser util en algo

El proceso de formalización

Para que una teoría T cualquiera sea formalizable, esta requiere constituir un sistema axiomatizado ​

La constitución de un sistema axiomático (o axiomatizacion de una teoría) es la selección, para esa teoría, de un conjunto de proposiciones que serán consideradas como básicas (es decir, desde las cuales se puede, en principio, derivar el resto de las proposiciones que constituyen el cuerpo de la teoría) y evidentes o no demostrables (ver axioma)

Ejemplos de teorías axiomatizadas son: la geometría plana con los axiomas de Euclides, la aritmética (teoría de números) con los axiomas de Peano, la teoría de conjuntos con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, la teoría de probabilidades con los axiomas de Kolmogórov, etc.

A partir de lo anterior, y restringiéndonos sólo a lógica de primer orden, se escoge un lenguaje L de primer orden apropiado para T. (específicamente un Lenguaje formalizado). El vocabulario para un lenguaje de primer orden formalizado consiste de cinco componentes o términos. Cuatro de ellos son siempre los mismos y no dependen de la teoría T. Estos primeros cuatro términos son:

1) Una lista enumerable de variables: Su número puede ser infinito, pero de cardinal igual a $\aleph _{0}$, el cardinal de los números naturales.

2) Los símbolos para las conectivas: (¬) para la negación, (∧) para la conjunción, (∨) para la disyunción (o inclusivo), (→) para la implicación y (↔) para la equivalencia o doble implicación. Estas conectivas son realmente las mismas de nuestro lenguaje usual.

3) El signo para la igualdad (=) imprescindible en la notación matemática.

4) Los Cuantificadores: ( ∀ ) universal y ( ∃ ) el existencial.

5) Los término (o parámetros) indefinidos (o "primitivos"). Dado que T es, ahora, una teoría axiomatizada, T trae implícita o explícitamente, ciertos “términos indefinidos” extras a los anteriores — a veces también denominados elementos primitivos — a los que generalmente se les asigna sendos símbolos. Estos símbolos, uno por cada término indefinido de la teoría T, usualmente se denominan parámetros del lenguaje de primer orden L. Este conjunto de símbolos corresponde al quinto término del vocabulario de nuestro lenguaje L para la teoría T. Por ejemplo, entre los términos indefinidos de la geometría plana de Euclides, aparece punto, recta, interestancia, incidencia, etc. y para cada uno de ellos usamos símbolos apropiados para completar el vocabulario del lenguaje de primer orden L.

Otros ejemplos: Entre los términos indefinidos de la aritmética, en la axiomatización de Peano, aparece cero, suma y multiplicación, y para ellos uno escoge como sus símbolos, 0, + y × respectivamente. La teoría de conjuntos más fácil de formalizar es, la de Fraenkel-Zermelo (FZ), por cuanto que esta teoría, no tiene sino un solo término indefinido, esto es, la relación de pertenencia que simbolizamos como "$\in$".

Puesto que los parámetros son los únicos símbolos en el vocabulario de un lenguaje de primer orden que dependen de la teoría previamente axiomatizada T, entonces, uno formaliza T simplemente escogiendo estos parámetros. Una vez hecha esta “selección”, la totalidad de la teoría T queda formalizada. Se puede ahora expresar en el lenguaje de primer orden resultante L, no sólo los axiomas, definiciones y teoremas de T, si no mucho más. Se puede expresar en ese lenguaje L todos los axiomas de la lógica clásica y desde luego, también toda la argumentación que uno usa en la prueba de los teoremas de la teoría T. Resumiendo, se puede ahora proseguir enteramente con L; es decir, “formalmente”.

Desarrollos en la automatización

En 1993/4 surgió el proyecto QED ​ (principalmente bajo el impulso de Robert S. Boyer): la propuesta de creación de una base de datos informatizada de todo el conocimiento matemático, estrictamente formalizado y con todas las pruebas habiendo sido verificados de forma automática.

Para este proyecto se creó una “ lista de correo” en la internet y se organizaron dos conferencias: La primera tuvo lugar, en 1994, en el Laboratorio Nacional Argonney la segunda, en 1995, en Varsovia, organizada por el grupo Mizar. ​

Sin embargo, y a partir de 1996, el proyecto parece haber cesado sus actividades. En un artículo de 2007, Freek Wiedijk identifica dos razones para el fracaso del proyecto. ​:

• Muy pocos están trabajando en la formalización de las matemáticas. No hay una aplicación atractiva para las matemáticas totalmente mecanizadas.

• Las matemáticas formalizadas aún no se parecen a las matemáticas reales, tradicionales. Esto es en parte debido a la complejidad de la notación matemática, y en parte a las limitaciones de los demostradores de teoremas y asistente de demostración existentes. El documento concluye que los principales contendientes, el sistema Mizar, los Demostradores de teoremas HOL (por ejemplo, Isabelle) y el sistema interactivo Coq, tienen graves deficiencias en su capacidad para expresar las matemáticas.

Aun así se proponen regularmente proyectos del tipo QED, y la biblioteca Mizar ha logrado formalizar una gran parte de las matemáticas de pre-grado. A partir de 2007, es la mayor tal biblioteca ​

Véase también

• Lógica matemática
• Teoría de categorías
• Teoría de conjuntos
• Teoría de la demostración
• Teoría de modelos
• Teoría de la recursión
• Método formal
• Teoría de tipos

Bibliografía y enlaces externos

Alan Weir: A Neo-Formalist Approach to Mathematical Truth

=

two kinds of deductivism http://books.google.es/books?id=GvGqRYifGpMC&printsec=frontcover#v=onepage&q=deductivism&f=false

http://www.bu.edu/wcp/Papers/Math/MathWeir.htm

http://seis.bris.ac.uk/~plxol/Courses/MA6/h2.pdf

http://www.bilkent.edu.tr/~sandyber/html/philmath/node3.html (formalism reading list)

http://philpapers.org/sep/formalism-mathematics/ (otra reading list)

de http://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/#ConFor Nonetheless two distinct positions emerge from the material Frege works over, doctrines which Resnik (1980 p.54), and likewise Shapiro (2000, pp.41–48) describe as term formalism and game formalism, respectively. The term formalist views the expressions of mathematics, arithmetic for example, as meaningful, the singular terms as referring, but as referring to symbols such as themselves, rather than numbers, construed as entities distinct from symbols. Thus Heine writes: (

https://www.dpmms.cam.ac.uk/~wtg10/philosophy.html Does mathematics need a philosophy?

Quizás sea necesario notar que "deductivismo" es un concepto amplio, consecuentemente, el logicismo seria solo una versión (usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática) del deductivismo (Hossack, op. cit).

Main article: Hypothetico-deductive model Another version of formalism is often known as deductivism. In deductivism, the Pythagorean theorem is not an absolute truth, but a relative one. This is to say, that if you interpret the strings in such a way that the rules of the game become true then you have to accept that the theorem, or, rather, the interpretation of the theorem you have given it must be a true statement. (The rules of such a game would have to include, for instance, that true statements are assigned to the axioms, and that the rules of inference are truth-preserving, etcetera.) Under deductivism, the same view is held to be true for all other statements of formal logic and mathematics. Thus, formalism need not mean that these deductive sciences are nothing more than meaningless symbolic games. It is usually hoped that there exists some interpretation in which the rules of the game hold. Compare this position to structuralism. Taking the deductivist view allows the working mathematician to suspend judgement on the deep philosophical questions and proceed as if solid epistemological foundations were available. Many formalists would say that in practice, the axiom systems to be studied are suggested by the demands of the particular science.

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Ver

Dale Jacquette (2009): Deductivism in formal and informal logic

Hilbert's formalism

A major early proponent of formalism was David Hilbert, whose program was intended to be a complete and consistent axiomatization of all of mathematics. Hilbert aimed to show the consistency of mathematical systems from the assumption that the "finitary arithmetic" (a subsystem of the usual arithmetic of the positive integers, chosen to be philosophically uncontroversial) was consistent (i.e. no contradictions can be derived from the system). The way that Hilbert tried to show that an axiomatic system was consistent was by formalizing it using a particular language (Snapper, 1979). In order to formalize an axiomatic system, you must first choose a language in which you can express and perform operations within that system. This language must include five components: It must include variables such as x, which can stand for some number. It must have quantifiers such as the symbol for the existence of an object. It must include equality. It must include connectives such as ↔ for "if and only if." It must include certain undefined terms called parameters. For geometry, these undefined terms might be something like a point or a line, which we still choose symbols for. Once we choose this language, Hilbert thought that we could prove all theorems within any axiomatic system using nothing more than the axioms themselves and the chosen formal language. Gödel's conclusion in his incompleteness theorems was that you cannot prove consistency within any axiomatic system rich enough to include classical arithmetic. On the one hand, you must use only the formal language chosen to formalize this axiomatic system; on the other hand, it is impossible to prove the consistency of this language in itself (Snapper, 1979). Hilbert was originally frustrated by Gödel's work because it shattered his life's goal to completely formalize everything in number theory (Reid and Weyl, 1970). However, Gödel did not feel that he contradicted everything about Hilbert's formalist point of view. After Gödel published his work, it became apparent that proof theory still had some use, the only difference is that it could not be used to prove the consistency of all of number theory as Hilbert had hoped (Reid and Weyl, 1970). Present-day formalists use proof theory to further our understanding in mathematics, but perhaps because of Gödel's work, they make no claims about semantic meaning in the work that they do with mathematics. Proofs are simply the manipulation of symbols in our formal language starting from certain rules that we call axioms. It is important to note that Hilbert is not considered a strict formalist as formalism is defined today. He thought there was some meaning and truth in mathematics, which is precisely why he was trying to prove the consistency of number theory. If number theory turned out to be consistent, then there had to be some sort of truth in it (Goodman, 1979). Strict formalists consider mathematics apart from its semantic meaning. They view mathematics as pure syntax: the manipulation of symbols according to certain rules. They then attempt to show that this set of rules is consistent, much like Hilbert attempted to do (Goodman, 1979). Formalists currently believe that computerized algorithms will eventually take over the task of constructing proofs. Computers will replace humans in all mathematical activities, such as checking to see if a proof is correct or not (Goodman, 1979). Hilbert was initially a deductivist, but, he considered certain metamathematical methods to yield intrinsically meaningful results and was a realist with respect to the finitary arithmetic. Later, he held the opinion that there was no other meaningful mathematics whatsoever, regardless of interpretation.

Axiomatic systems

Other formalists, such as Rudolf Carnap, Alfred Tarski and Haskell Curry, considered mathematics to be the investigation of formal axiom systems. Mathematical logicians study formal systems but are just as often realists as they are formalists.

Principia Mathematica

Perhaps the most serious attempt to formalize number theory was by the two mathematicians Bertrand Russell and Alfred North Whitehead. They created a work, Principia Mathematica, which derived number theory by the manipulation of symbols using formal logic. This work was very detailed, and they spent the better part of a decade in writing it. It wasn't until page 379 of the first volume that they were even able to prove that 1+1=2. Russell's philosophy of mathematics was not formalist, however; it is usually considered a form of logicism. He strongly criticized Hilbert's formalism.

Criticisms of formalism

Gödel indicated one of the weak points of formalism by addressing the question of consistency in axiomatic systems. More recent criticisms lie in the assertion of formalists that it is possible to computerize all of mathematics. These criticisms bring up the philosophical question of whether or not computers are able to think. Turing tests, named after Alan Turing, who created the test, are an attempt to provide criteria for judging when a computer is capable of thought. The existence of a computer which in principle could pass a Turing test would prove to formalists that computers will be able to do all of mathematics. However, there are opponents of this claim, such as John Searle, who came up with the "Chinese room" thought experiment. He presented the argument that while a computer may be able to manipulate the symbols that we give it, the machine could attach no meaning to these symbols. Since computers will not be able to deal with semantic content in mathematics (Penrose, 1989), they could not be said to "think." Further, humans can create several ways to prove the same result, even if they might find it challenging to articulate such methods. Since creativity requires thought having a semantic foundation, a computer would not be able to create different methods of solving the same problem. Indeed, a formalist would not be able to say that these other ways of solving problems exist simply because they have not been formalized (Goodman, 1979). Another critique of formalism is that the actual mathematical ideas that occupy mathematicians are far removed from the string manipulation games mentioned above. Formalism is thus silent to the question of which axiom systems ought to be studied, as none is more meaningful than another from a formalistic point of view.

Notas y referencias

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http://peccatte.karefil.com/quasi/KoetsierOnLakatos.html Teun Koetsier : Lakatos' Philosophy of Mathematics, A Historical Approach, Amsterdam, North-Holland, 1991

Tymoczko, editor of the 1986 anthology New Directions in the Philosophy of Mathematics (6) , strikes a more optimistic note in his introductions to the different parts of the book. From his point of view the papers collected in the anthology contain the outlines of a more adequate philosophy of mathematics which he calls quasi-empiricism. Tymoczko states: "This anthology delineates quasi-empiricism as a coherent and increasingly popular approach to the philosophy of mathematics" (7) .

What is quasi-empiricism ? Tymoczko uses a rather loose definition. For him quasi-empiricism is a philosophical position, or rather a set of related philosophical positions, that attempts to re-characterize the mathematical experience by taking the actual practice of mathematics seriously (8) . Tymoczko writes :

"If we look at mathematics without prejudice, many features will stand out as relevant that were ignored by the foundationalists: informal proofs, historical development, the possibility of mathematical error, mathematical explanations (in contrast to proofs), communication among mathematicians, the use of computers in modern mathematics, and many more" (9) .

Usually the word 'quasi-empiricism' is used in a more restricted sense. As far as I know, the word was first used by Lakatos in the middle of the sixties and also by Putnam later in the seventies. In 1967 Lakatos distinguished two different kinds of theories: quasi-empirical theories and Euclidean theories. He defined Euclidean theories as theories in which the characteristic truth flow inundating the whole system goes from the top, the axioms, down to the bottom. He defined quasi-empirical theories as theories in which the crucial truth flow is the upward transmission of falsity from the "basic statements" to the axioms. Attacking the foundationalist illusion that there exists a means of finding a foundation for mathematics which will be satisfactory once and for all, Lakatos argued that mathematics is not Euclidean, but instead quasi-empirical. Carried away by his own reasoning and wishing to show the fallibility of mathematics in the sense of Popper's falsificationism, Lakatos exaggerated. There is indeed an upward transmission of falsity in mathematics, but it is not the crucial truth flow. Yet Lakatos had a point. Later, in two papers published in 1975 and 1979, we also find Putnam defending the point of view that mathematics is quasi-empirical (10) . In the 1975 paper Putnam argued that:

"mathematical knowledge resembles empirical knowledge - that is, that the criterion of truth in mathematics just as much as in physics is success of our ideas in practice, and that mathematical knowledge is corrigible and not absolute" (11) .

In the 1979 paper Putnam presents his quasi-empirical realism as a modification of Quine'sholism.

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http://books.google.es/books?id=SbDf7KNF-2UC&pg=PA389&lpg=PA389&dq=quasi-empiricism&source=bl&ots=y724S2c4F2&sig=3lEbrvgrnKSW0fEHWfSavwXuG4c&hl=en&sa=X&ei=VTjbULiCJ4uN0wXdlICoAw&ved=0CEIQ6AEwBDgU#v=onepage&q=quasi-empiricism&f=false The Mathematical Experience, Study Edition p 389

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Intucionismo B

El intucionismo matematico es una escuela del pensamiento matematico que se basa en la propuesta de L. E. J. Brouwer ​ que las matematicas se originan en la "intuicion" ​ de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuicion basica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior ​ ​.

De esa sugerencia siguen dos principios importantes: las entidades matematicas (números, teoremas, demostraciones, etc) son abstracciones construidas a partir de esos numeros naturales. Y solo aquellas que hayan sido contruidas de forma explicita y rigurosa tienen validez. Segundo y consecuentemente: la construccion de entes matematicos requiere un metodo claro y preciso ​. Esto se aplica tanto a construcciones positivas como negativas: solo podemos decir con certeza matematica que, por ejemplo, un teorema es correcto o erroneo si se demuestra especificamente tal condicion. (op. cit).

Lo anterior implica que hay propuestas matematicas (incluyendo conceptos, teoremas, etc) sobre las cuales no podemos decidir con certeza. En otras palabras, para los intuicionistas el principio del tercero excluido no es valido ​ El mero hecho que una propuesta no pueda ser demostrada

ver : Iemhoff, Rosalie, "Intuitionism in the Philosophy of Mathematics", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.), URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/>.

clara, etc. --

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from http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/#Int 2.2 Intuitionism

Intuitionism originates in the work of the mathematician L.E.J. Brouwer (van Atten 2004). According to intuitionism, mathematics is essentially an activity of construction. The natural numbers are mental constructions, the real numbers are mental constructions, proofs and theorems are mental constructions, mathematical meaning is a mental construction… Mathematical constructions are produced by the ideal mathematician, i.e., abstraction is made from contingent, physical limitations of the real life mathematician. But even the ideal mathematician remains a finite being. She can never complete an infinite construction, even though she can complete arbitrarily large finite initial parts of it. This entails that intuitionism resolutely rejects the existence of the actual (or completed) infinite; only potentially infinite collections are given in the activity of construction. A basic example is the successive construction in time of the individual natural numbers.

From these general considerations about the nature of mathematics, intuitionists infer to a revisionist stance in logic and mathematics. They find non-constructive existence proofs unacceptable. Non-constructive existence proofs are proofs that purport to demonstrate the existence of a mathematical entity having a certain property without even implicitly containing a method for generating an example of such an entity. Intuitionism rejects non-constructive existence proofs as ‘theological’ and ‘metaphysical’. The characteristic feature of non-constructive existence proofs is that they make essential use of the principle of excluded third

φ ∨ ¬φ, or one of its equivalents, such as the principle of double negation

¬¬φ → φ In classical logic, these principles are valid. The logic of intuitionistic mathematics is obtained by removing the principle of excluded third (and its equivalents) from classical logic. This of course leads to a revision of mathematical knowledge. For instance, the classical theory of elementary arithmetic, Peano Arithmetic, can no longer be accepted. Instead, an intuitionistic theory of arithmetic (called Heyting Arithmetic) is proposed which does not contain the principle of excluded third. Although intuitionistic elementary arithmetic is weaker than classical elementary arithmetic, the difference is not all that great. There exists a simple syntactical translation which translates all classical theorems of arithmetic into theorems which are intuitionistically provable.

In the first decades of the twentieth century, parts of the mathematical community were sympathetic to the intuitionistic critique of classical mathematics and to the alternative that it proposed. This situation changed when it became clear that in higher mathematics, the intuitionistic alternative differs rather drastically from the classical theory. For instance, intuitionistic mathematical analysis is a fairly complicated theory, and it is very different from classical mathematical analysis. This dampened the enthusiasm of the mathematical community for the intuitionistic project. Nevertheless, followers of Brouwer have continued to develop intuitionistic mathematics onto the present day (Troelstra & van Dalen 1988).

Bibliografía

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• Edward Nelson Understanding Intuitionism

• Ernst Snapper The three crisis in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism

• A.G. Dragalin (originator), Encyclopedia of Mathematics Intuitionism

• Alʹbert Grigorʹevich Dragalin Mathematical Intuitionism: Introduction to Proof Theory

• DIEGO PAREJA HEREDIA 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.

Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”

• WENCESLAO J. GONZÁLEZ FERNÁNDEZ : MATEMÁTICA INTUICIONISTA Y LENGUAJE

En la correspondencia con KORTEWEG, él deja traslucir su enfoque de la matemática como un saber en sí mis- mo diferente del lógico y que se configura originariamente al mar- gen de todo lenguaje, aun cuando lo emplee para transmitir el pen- samiento matemático.

• Ferran Mir Sabate LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS A—OS 20. El Principio de Tercio Excluso

Pretendemos explorar los documentos de los matem·ticos m·s impor- tantes de este debate (Hilbert, Brouwer, Weyl y Bernays) para dar con las claves ̇ltimas de las posiciones enfrentadas, fundamentalmente en lo que se reÖere a la aceptaciÛn del Principio de Tercio Excluso.

• J. BARRIO GUTIÉRREZ. Intuicionismo

Intuicionismo matemático. Una de las corrientes matemáticas de más fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matemático. En oposición al formalismo de Hilbert (v.), fue creado por L. Brouwer (v.) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. La tesis fundamental de este i. es la afirmación de que la Matemática (v.) está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo.

• Miguel Espinoza: Intuicionismo y objetividad

Para todo intuicionista,... lo que existe en el interior de la mente es el unico contenido del pensamiento y del conocimiento.

Marta Martínez de la Fuente El Intuicionismo matemático: Una filosofía constructivista (libro)

A.G. Dragalin A. G. Dragalin, Mathematical intuitionism. Introduction to proof theory (Review)

http://www.abebooks.com/servlet/SearchResults?an=A.G.+Dragalin&sts=t&x=0&y=0