Tronco de cono

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Tronco de cono.
Tronco de cono.

El tronco de cono, cono truncado o tronco de Garófalo es un cuerpo engendrado por la rotación de un trapecio rectángulo al usar como eje de giro el lado perpendicular a las bases.

Medidas[editar]

Un tronco de cono recto, de bases paralelas, es la porción de cono comprendido entre dos planos que lo cortan y son perpendiculares a su eje. Queda determinado por los radios de las bases, r_1 \, y r_2 \,, la altura, h \,, y la generatriz, s \,, entre las cuales se cumple la relación del teorema de Pitágoras:

s^2 = \left(r_1 - r_2 \right)^2 + h^2

Áreas[editar]

El área lateral de un tronco de cono se puede hallar mediante la semisuma de los perímetros de las bases, por la generatriz:

A_L = \frac {2 \pi r_1 + 2 \pi r_2 }{2} s
A_L = \pi \left(r_1 + r_2 \right)s

El área total de un tronco de cono, la cual es el área lateral más el área de las bases menor y mayor , se puede hallar mediante la fórmula:

A = A_1 + A_2 + A_L \,
A = \pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \pi \left(r_1 + r_2 \right) s
A = \pi \left[ r_1^2 + r_2^2 + (r_1 + r_2 \right) s ]

Volumen[editar]

El volumen de un tronco de cono se puede hallar utilizando el producto entre la altura del tronco y la media heroniana del área de las bases:

V = \frac{h}{3} \left(A_1 + A_2 + \sqrt {A_1 A_2}\right) \,
V = \frac{h}{3} \left(\pi r_1^2 + \pi r_2^2 + \sqrt { \pi r_1^2 \pi r_2^2}\right) \,
V = \frac{h \pi}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \,

Otra manera de ver esto considerar el cono original de altura H y radio r1 al que se le trunca un cono de altura H-h cuya base tendrá radio r2 (ésta base será la tapa superior del tronco de cono):

(1)V = \frac{\pi}{3}r_1^2H - \frac{\pi}{3}r_2^2(H-h)

Dado que el cono original y la parte trucanda comparten el ángulo de semiabertura se tiene las siguientes proporcionalidades:

(2)\frac{r_1}{H} = \frac{r_2}{H-h} \qquad \Rightarrow \qquad H = \frac{hr_1}{r_1-r_2}

Substituyendo esta última relación en (1) se llega a la fórmula anteior dada para el volumen.

Véase también[editar]

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