Triángulo aritmético de Fibonacci

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Es una ordenación triangular de números enteros impares que utilizó Fibonacci para demostrar la identidad

El triángulo[editar]

1
5 3
11 9 7
19 17 15 13
29 27 25 23 21
41 39 37 35 33 31
55 53 51 49 47 45 43
71 69 67 65 63 61 59 57
89 87 85 83 81 79 77 75 73
109 107 105 103 101 99 97 95 93 91
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

[1]

La demostración[editar]

Fibonacci observó que cada k-ésima fila es una progresión aritmética cuyo valor medio es k². Por consiguiente, la suma de los k términos de la k-ésima fila es k ·k² = k³. La suma S de las primeras n filas consecutivas es . Además Fibonacci conocía un resultado que la leyenda atribuye a Pitágoras: la suma de los primeros m enteros impares es igual a m². De esta forma porque en las primeras k filas hay 1 + 2 + 3 + ... + k números enteros impares.[2]

Propiedades elementales del triángulo de Fibonacci[editar]

  • La k-ésima fila tiene k elementos.
  • La suma de los elementos de la k-ésima fila es igual a k³.
  • El menor número entero impar que forma parte de la k-ésima fila es igual a k² - (k - 1).
  • El mayor número entero impar que está en la k-ésima fila es igual a k² + (k - 1).

Identidades deducidas del triángulo[editar]

Conocemos la identidad , que se demuestra por inducción matemática en los cursos elementales de álgebra. También sabemos que .

La suma de cubos de números enteros hasta un valor arbitrario n-1 es .

Evidentemente .

La primera identidad deducida nos dice, entonces, que todo cubo es una diferencia de cuadrados, los cuadrados de dos números triangulares consecutivos cuyos órdenes son la raíz cúbica del cubo y ésta menos la unidad.

La segunda identidad es una generalización de verificación inmediata: . Cualquier potencia de exponente impar puede escribirse como una diferencia de cuadrados.

Aunque originalmente estas consideraciones fueron efectuadas para números enteros, las identidades deducidas valen en el campo real.

Notas y referencias[editar]

  1. Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A. p. 278. 
  2. Dantzig, Tobías (1971). «Segunda Parte, B, Temas de los Enteros». El Número. Lenguaje de la Ciencia. Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana S.A. pp. 277,78.