Tractriz

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Tractriz (curva en azul).

Se denomina tractriz a la curva que describe un objeto (situado en P) que es arrastrado por otro (situado en A), que se mantiene a distancia constante d y que se desplaza en línea recta. Sus ecuaciones paramétricas para x e y, usando el parámetro t, que es la distancia del punto A al origen de coordenadas [1] , son:

t \ge 0
x = t - tanh(t) \,
x \ge 0
y = 1 / cosh(t) \,
y>0

La evoluta de la tractriz es la catenaria.

Ecuación con parámetro "d"[editar]

Representación gráfica para d = 1.

Las ecuaciones de la tractriz en coordenadas paramétricas, expresadas en función del parámetro d son:

x = d(\log \tan \frac{\theta}{2} + \cos \theta)

y = d\sin \theta \,

Analogía curiosa[editar]

Esta curva es conocida en el mundo de la matemática como la curva del hueso del perro. Esto es debido a que se puede considerar el caso análogo en que el amo se sitúa inicialmente en el origen, y el perro en Po. El amo caminaría en sentido positivo del eje de la x, mientras el perro, que sería arrastrado por la correa del amo, haría resistencia para volver al punto Po, que sería donde estaría situado el hueso.

Estudio alternativo[editar]

Es la curva para la cual la longitud del segmento de la tangente desde el punto de tangencia P hasta su intersección A con la recta dada ( en este caso el eje Ox) asume un valor constante.

La tracriz es la evolvente de la catenaria, cuyo desarrollo empieza en el vértice  P_0.[2]

La ecuación cartesiana es x= a Arch \frac{a}{a} \pm \sqrt{a^2 - y^2}

La asíntota es el eje Ox, el punto de retroceso ( con recta tangente vertical) es A(0,a). La curva tiene simetría respecto al eje Oy. La longitud del arco  P_0P es  L = aln\frac{a}{y} ; al crecer la longitud L del arco, la diferencia L-x, donde x es la abscisa del punto P es ≈ a(1-ln2) ≈ 0,307a. El radio de curvatura es  r = a ctg\frac{x}{y}. [3] .

La rotación de la tractriz, teniendo como eje de rotación el eje Ox, genera la la seudoesfera, donde se realiza la geometría de Lobachevsky. [4] .

Referencias[editar]

  1. Granville-Smith-Longleu. Calculo diferencial e integral. Uteha, México D.F.,(1974)
  2. Esta presentación usa la figura que aparece en el inicio del presente artículo.
  3. I. Bronshtein- K. Mendeaiv. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. Editorial Mir, Moscú (1973)
  4. Kasner- Newman. Matemática e imaginación. Librería Lachete S.A., Buenos Aires (1944)

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]