Tetración

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El \textstyle \lim_{n\rightarrow \infty} {}^n x de la torre de potencias infinita converge para las bases \scriptstyle (e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}}) .

En matemáticas, la tetración (o hiper-4) es el siguiente hiperoperador después de la exponenciación, y es definida como una exponenciación iterada. La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein, de tetra- (cuatro) e iteración. La tetración es usada para la notación de los números muy grandes. Aquí se presentan ejemplos de los primeros cuatro hiperoperadores, con la tetración como el cuarto operador (y el sucesor, la operación unaria denotada como a' = a + 1 que toma a y da el número siguiente a a, como el 0-ésimo):

  1. Adición
    a + n = a\!\underbrace{''{}^{\cdots}{}'}_n
    a ocurrido n veces.
  2. Multiplicación
    a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
    a sumado a sí mismo, n veces.
  3. Exponenciación
    a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
    a multiplicado por sí mismo, n veces.
  4. Tetración
    {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n
    a exponenciado por sí mismo, n veces.

Donde cada operación es definida mediante la iteración de la operación previa (la siguiente operación en la sucesión es la pentación). La peculiaridad de la tetración entre estas operaciones es que para las tres primeras (adición, multiplicación y exponenciación) pueden ser generalizadas para valores complejo de n, mientras que para la tetración, tal generalización regular no ha sido todavía establecida; la tetración no es considerada una función elemental.

La adición (a + n) es la operación más básica, la multiplicación (an) es también una operación primaria, aunque para los números naturales puede ser pensada como una adición encadenada que implica n números a, y la exponenciación (a^n) puede ser pensada como una multiplicación encadenada que implica n números a. Análogamente, la tetración (^{n}a) puede ser pensada como una potencia encadenada que implica n números a. El parámetro a puede ser llamado parámetro base en lo siguiente, mientras que el parámetro n puede llamarse en lo siguiente parámetro-altura (que es entero en primera aproximación, pero que puede ser generalizado a alturas fraccionales, reales y complejas, ver más abajo).

Definición[editar]

Para cualquier número real positivo  a > 0 y un número entero no negativo  n \ge 0 , se define \,\! {^{n}a} como:

{^{n}a} := \begin{cases} 1 &\text{if }n=0 \\ a^{\left[^{(n-1)}a\right]} &\text{if }n>0 \end{cases}

Potencias iteradas contra bases iteradas/exponentiación[editar]

Como se puede ver de la definición, al evaluar el tetración, este es expresado como una "torre de exponenciales", la exponenciación se realiza en el nivel más profundo primero (en la notación, en el más alto nivel). Dicho de otro modo:

\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left[2^{\left(2^2\right)}\right]} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65,\!536

Nótese que la exponenciación no es asociativa, así que evaluar la expresión en otro orden proporcionará una respuesta diferente:

\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left[{\left(2^2\right)}^2\right]^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256

Por lo tanto, las torres exponenciales deben ser evaluadas de arriba a abajo (o de derecha a izquierda). Los programadores suelen referirse a esta elección como asociativa-derecha.

Cuando a y 10 son coprimos, wse pueden calcular los últimos m dígitos decimales de \,\!\ ^{n}a usando el teorema de Euler.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]