Tetración

El $\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x$$\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x$ de la torre de potencias infinita converge para las bases $\scriptstyle (e^{-1})^{e}\leq x\leq e^{e^{-1}})$$\scriptstyle (e^{-1})^{e}\leq x\leq e^{e^{-1}})$.

En matemáticas, la tetración (o hiper-4) es el siguiente hiperoperador después de la exponenciación, y es definida como una exponenciación iterada. La palabra fue acuñada por Reuben Louis Goodstein, de tetra- (cuatro) e iteración. La tetración es usada para la notación de los números muy grandes. Aquí se presentan ejemplos de los primeros cuatro hiperoperadores, con la tetración como el cuarto operador (y el sucesor, la operación unaria denotada como $a'=a+1$$a'=a+1$ que toma $a$$a$ y da el número siguiente a $a$$a$, como el 0-ésimo):

1. Adición

   $a+n=a\!\underbrace {''{}^{\cdots }{}'} _{n}$$a+n=a\!\underbrace {''{}^{\cdots }{}'} _{n}$

   a ocurrido n veces.

2. Multiplicación

   $a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$$a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}$

   a sumado a sí mismo, n veces.

3. Exponenciación

   $a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

   a multiplicado por sí mismo, n veces.

4. Tetración

   ${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$${^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}$

   a exponenciado por sí mismo, n veces.

Donde cada operación es definida mediante la iteración de la operación previa (la siguiente operación en la sucesión es la pentación). La peculiaridad de la tetración entre estas operaciones es que para las tres primeras (adición, multiplicación y exponenciación) pueden ser generalizadas para valores complejo de n, mientras que para la tetración, tal generalización regular no ha sido todavía establecida; la tetración no es considerada una función elemental.

La adición ($a+n$$a+n$) es la operación más básica, la multiplicación ($an$$an$) es también una operación primaria, aunque para los números naturales puede ser pensada como una adición encadenada que implica n números a, y la exponenciación ($a^{n}$$a^{n}$) puede ser pensada como una multiplicación encadenada que implica n números a. Análogamente, la tetración ($^{n}a$$^{n}a$) puede ser pensada como una potencia encadenada que implica n números a. El parámetro a puede ser llamado parámetro base en lo siguiente, mientras que el parámetro n puede llamarse en lo siguiente parámetro-altura (que es entero en primera aproximación, pero que puede ser generalizado a alturas fraccionales, reales y complejas, ver más abajo).

Definición

Para cualquier número real positivo $a>0$$a>0$ y un número entero no negativo $n\geq 0$$n\geq 0$, se define $\,\!{^{n}a}$$\,\!{^{n}a}$ como:

${^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}$${^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}$

Potencias iteradas contra bases iteradas/potenciación

Como se puede ver de la definición, al evaluar la tetración, esta es expresada como una "torre de exponentes", la potenciación se realiza en el nivel más profundo primero (en la notación, en el nivel más alto). Dicho de otro modo:

$\,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536$$\,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536$

Nótese que la potenciación no es asociativa, así que evaluar la expresión en otro orden proporcionará una respuesta diferente:

$\,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256$$\,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256$

Por lo tanto, las torres exponenciales deben ser evaluadas de arriba a abajo (o de derecha a izquierda). Los programadores suelen referirse a esta elección como asociativa por derecha.

Cuando a y 10 son coprimos, se pueden calcular los últimos m dígitos decimales de $\,\!\ ^{n}a$$\,\!\ ^{n}a$ usando el teorema de Euler.

Véase también

• Función de Ackermann
• Hiperoperación
• Logaritmo iterado

Referencias

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Weisstein, Eric W. «Power Tower». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
• Hans Maurer. "Über die Funktion $y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$$y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of $\ {^{n}a}$$\ {^{n}a}$ from Knobel's paper.)
• Ripà, Marco (2011). La strana coda della serie n^n^...^n, Trento, UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6

Enlaces externos

• Andrew Robbins' site on tetration
• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• tetration at citizendium
• Gottfried Helms' site on tetration