Teseracto

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Teseractos
Hypercubecentral.svg
Diagrama Schlegel
Tipo Politopo regular
Familia Hipercubo
Celdas 8 (4.4.4) Hexahedron.png
Caras 24 {4}
Bordes 32
Vértices 16
Figura de vértice (3.3.3)
Símbolo de Schläfli {4,3,3}
{4,3}x{}
{4}x{4}
{4}x{}x{}
{}x{}x{}x{}
Diagrama Coxeter-Dynkin CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.png
CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 2.pngCDW ring.png
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CDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.png
Grupo de simetría B4, [3,3,4]
Doble 16-celdas
Propiedades convexo
Proyección de la proyección de un hipercubo, con una transformación similar a la que se puede aplicar a un cubo de tres dimensiones.
Elementos de P( P( P(P({})))) en Diagrama de Hasse.

En geometría, un teseracto es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (considerando al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices, usando la fórmula del polinomio , donde el valor de n equivale al número de dimensiones (en este caso particular 4) y x es el largo, alto, ancho, etc., de la figura polidimensional equilátera.

Representación del Diagrama de Schlegel de un teseracto como superficie jabonosa en un cubo de alambre.

De acuerdo con el Oxford English Dictionary, este término fue acuñado y utilizado por primera vez en 1888 por el matemático inglés, Charles Howard Hinton, en una obra llamada A New Era of Thought, una especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario. Procede del griego τέσσερεις ακτίνες ("cuatro rayos"), en referencia a las cuatro aristas que en la figura estudiada parten desde cada vértice a otros vértices de la misma.

Un teseracto se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto, es imposible ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que, con suerte, sólo sería posible ver un cubo común únicamente en caso de que el hipercubo toque el espacio 3D en forma paralela a una de sus hipercaras. En cualquier otro caso, se vería un poliedro irregular, al igual que un cubo interseca por un plano en múltiples figuras.

No es posible ver un hipercubo porque el ser humano está sujeto a tres dimensiones, por lo que solo puede verse la proyección de lo que sería un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Sin embargo, en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.[1]

Hay una explicación audiovisual acerca de este objeto en el capítulo 10 (minuto 29-30, aproximadamente) del documental científico Cosmos: un viaje personal, de Carl Sagan.

Coordenadas[editar]

Un hipercubo de unidad con n dimensiones es la envoltura convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de par de las coordenadas cartesianas . Tiene una longitud de lado de arco de 1 y un volumen n-dimensional de 1.[cita requerida]

Cubo unitario de cuatro dimensiones[editar]

Definición[editar]

Se llama cubo unitario de cuatro dimensiones al conjunto de puntos[2]​ (x, y, z, t) que cumplen las relaciones

0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ t ≤ 1.

Vértices[editar]

Los vértices del cubo unitario son los puntos (x, y, z, t) en los cuales x, y, z, t están reemplazados o bien por un cero o bien por la unidad. Dichos vértices son 16 porque representan el número de arreglos con repetición de tamaño cuatro con dos datos.[3]

Aristas[editar]

Se llaman aristas del cubo unitario de cuatro dimensiones los conjuntos de puntos[4]​ que tienen todas sus coordenadas, a excepción de una, constantes (iguales a 0 ó 1) y la cuarta toma todos los valores desde 0 hasta 1. Por tanto cualquier arista es un conjunto de la forma:

donde:

, es un elemento de la base canónica de
, designa uno de los vértices del cubo, adecuadamente escogido.

Ejemplos de aristas:

  1. x=0, y=0, z=0, 0 ≤ t ≤ 1
  2. 0 ≤ x ≤ 1, y=0, z=0, t=0
  3. x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 1

Hay 32 aristas del cubo unitario tetradimensional.

Caras bidimensionales y tridimensionales[editar]

Las caras bidimensionales pueden escribirse como combinaciones lineales de dos los puntos de dos aristas:

Análogamente las caras tridimensionales son conjuntos de la forma:


Diagonal principal[editar]

En un n-cubo la diagonal principal viene dada por:

siendo L la longitud de la arista, como se puede demostrar por inducción a partir del teorema de Pitágoras:

Para un hipercubo ordinario en cuatro dimensiones (n = 4) la diagonal principal mide el doble del lado de la arista Dn = 2L.

hipervolumen y volumen[editar]

El hipervolumen tetradimensional encerrado en un hipercubo es L4 mientras que el volumen de su frontera es 8L3. Para un n-cubo se tienen para las medidas de n-volumen:

Ficción[editar]

  • En la película Cube 2: Hypercube (2002)[5]​ se realiza una conjetura fantástica de lo que podría ser la construcción de un hipercubo con seres humanos dentro. La película trata del intento de escapar de este hipercubo que funciona como prisión y que cruza diferentes espacios y tiempos.
  • El relato de Robert A. Heinlein, "...Y construyó una casa torcida", se basa en el intento de un arquitecto visionario de construir una casa en forma de teseracto.
  • En la serie canadiense El Colegio del Agujero Negro, en el episodio 30, titulado «Tesseract», el colegio se ve transformado en un hipercubo.
  • En la serie de ciencia ficción Terminator: The Sarah Connor Chronicles se observa en la oficina del personaje Catherine Weaver un modelo de teseracto como objeto de decoración.
  • En la serie animada Adventure Time, en el episodio "El verdadero tú" Finn crea un Hipercubo que a su vez es un Agujero negro
  • En la película The Avengers, el cubo cósmico con propiedades interdimensionales, que es el centro de la trama argumental, recibe el nombre de Teseracto.
  • En la película Flatland: The Movie, se habla y muestra un hipercubo que visita la tercera dimensión
  • En la película de Iron Man 2 sale una imagen de un hipercubo en el cuaderno del padre de Tony y es usado para encontrar un nuevo elemento.
  • En la película de S. Darko: La Secuela caen hipercubos a la tierra, chocando contra la superficie como meteoritos.
  • En el libro, El principio del tiempo de Jorge Ortiz, se nombra a un teseracto como el iniciador del Big Bang.
  • En la película de Christopher Nolan, Interstellar donde el robot TARS y el astronauta Cooper encuentran un teseracto dentro de un agujero negro supermasivo puesto allí por seres inteligentes. Dentro de este teseracto estos seres colocaron la dimensión del tiempo como una dimensión espacial para que el protagonista pudiera recorrerla libremente.
  • En la serie Las Tortugas Ninja (2012) Casey descubre un hipercubo que contenía a Wyrm, el cuarto ser dimensional.
  • En la serie original de Netflix The OA la protagonista sufre de Experiencias Cercanas a la Muerte que la transportan a un teseracto donde adquiere habilidades extraordinarias.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Sagan, Carl (1980). Cosmos: un viaje personal, Capítulo 10. El filo de la eternidad. 
  2. Gelfand/Glagolieva/ Kirillov: El método de coordenadas Editorial Mir, Moscú (1981), pg. 82
  3. Op. cit. pg. 86
  4. Op. cit. pg. 87
  5. Información en IMDb sobre Cube 2: Hypercube.