Teorema del valor medio de Cauchy

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Interpretación geométrica: para cualquier función continua en y diferenciable en , entonces existe algun en el intervalo de tal manera que la secante que une los extremos del intervalo es paralela a la tangente en .
Existe un punto del arco fijado donde la tangente es paralela a la cuerda.

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones ó .

Enunciado[editar]

El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),[1] se enuncia de la siguiente manera:

Sean y continuas en y derivables en . Entonces existe al menos un punto tal que:

En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces se puede escribir:


Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostración[editar]

  • Sea G(x) una función definida como:

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

y sabiendo que G'(c) es 0

de donde se deduce que

  • Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

Q.E.D.

Consecuencias[editar]

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de ó .

Referencias[editar]

  1. Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 193.