Teorema del factor

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio. Es un caso especial del teorema del resto.

El teorema del factor establece que un polinomio tiene un factor si y sólo si es una raíz de , es decir que .

Ejemplo[editar]

Si se desean encontrar los factores de , se tantean las raíces de para obtener los factores . Si el resultado de sustituir en el polinomio es igual a 0 (es decir, si es raíz), se sabe que es un factor. Teniendo en cuenta que los candidatos a raíces (racionales) de son por el teorema de la raíz racional, se va probando con ellos.


¿Es un factor de ? Para saberlo, se sustituye en el polinomio:


y se determina que no es un factor de . Se prueba ahora con de la misma forma; es decir, sustituyendo y comprobando si es una raíz del polinomio:


Por tanto, es un factor porque -1 es una raíz de .


Para hallar otros factores, basta con probar con todos los posibles candidatos a raíces o encontrar un factor e ir dividiendo el polinomio por el factor hallado para obtener nuevos polinomios de menor grado en cada iteración; en este caso, se construiría



Una vez probados todos los candidatos a raíces, se concluiría que no tiene factores racionales (es decir, no existen más factores de la forma con ), por lo que sólo tiene un factor racional. No obstante, por el teorema fundamental del álgebra, se sabe que tiene dos factores más que serán, o ambos irracionales (), o ambos complejos no reales ().