Teorema de Euler para poliedros

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En 1750, Leonhard Euler publicó su teorema para poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo[1]​ (sin orificios, ni entrantes). El famoso teorema o fórmula expresa una constante que no se altera en caso de rotaciones, traslaciones de dichos poliedros. En la proposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos varias relaciones:

Teorema de los poliedros[editar]












donde:

= Número de caras
= Número de vértices
= Número de aristas
= Número de lados del polígono regular
= Número de aristas que convergen en los vértices

La relación (1) se llama característica de Euler y sigue cumpliéndose para todos los poliedros convexos.

Ejemplo[editar]

Para un cubo se tiene . La característica de Euler es . Cada cara es un cuadrado, por tanto . En cada vértice concurren aristas.

  • Los casos más conocidos corresponden a los poliedros regulares:tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Otros casos[editar]

Pirámide pentagonal[editar]

  1. Base:1 pentágono simple; caras laterales: 5 triángulos escalenos (en general). Números de caras=6=C.
  2. Aristas: 6 de la base y 6 de los vértices de la base al vértice de la pirámide. Número de aristas=A=10
  3. Vértices: 5 en la base y el ápice 1. Número de vértices = V=6
  4. Se cumple la característica euleriana: C+V=A+2, ya que 6+6=10+2.

Prisma triangular[editar]

  1. 2 bases: triángulos; tres caras laterales: paralelogramos. Número de caras=C=5
  2. Aristas: 6 en ambas bases y 3 en caras laterales. Número de aristas=A=9
  3. Vértices: 3 en cada bas. Número de vértices=V=6
  4. Se cumple la característica euleriana:C+V=A+2, ya que 5+6=9+2.[2]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Una definición: Un poliedro es convexo si el sólido queda por completo de un mismo lado de un plano que contiene a una cara cualquiera. (Geometría superior), de Bruño.
  2. Adaptación del libro Característica euleriana de Yu. Shashkin Editorial Mir, Moscú.

Enlaces externos[editar]