Teorema de los residuos

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El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.

Enunciado[editar]

Sea una función analítica en un dominio simplemente conexo , excepto en un número finito de puntos que constituyen singularidades aisladas de . Sea una curva en , simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de . Entonces se tiene:


donde es el Residuo de la función en el punto singular .

Demostración[editar]

Sea holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral es igual a siempre que sea una curva homotópica con .

En específico, se puede considerar una curva tipo la cual tiene una rotación alrededor de los puntos sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.

Ya que la curva sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, sólo se necesitan sumar las integrales de alrededor de los círculos pequeños.

Consecuentemente sea parametrización de la curva alrededor del punto , entonces se tiene , por lo tanto:

donde , escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio . Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda :

Sea fija y aplíquese la serie de Laurent para en

de tal forma que , donde c-1, es el coeficiente de en la serie de Laurent. Entonces tenemos:

Obsérvese que si , se tiene:

mientras que para se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]