Teorema del eje paralelo

El teorema del eje paralelo, también conocido como teorema de Huygens–Steiner, o simplemente como teorema de Steiner,^[1] (nombrado así en referencia a Christiaan Huygens y Jakob Steiner), puede utilizarse para determinar el momento de inercia o segundo momento de área de un cuerpo rígido respecto a cualquier eje, a partir del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje paralelo al anterior que pase a través del centro de masas del objeto, de la masa del objeto y de la distancia medida perpendicularmente entre ambos ejes.

Enunciado

Momentos de inercia

Dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes está relacionado mediante la expresión:

$I_{z,P}=I_{z,G}+mr^{2}$

Símbolo	Nombre
$I_{z,P}$	Momento de inercia del cuerpo según el eje que no pasa a través de su centro de masas
$I_{z,G}$	Momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas
$m$	Masa del objeto
$r$	Distancia perpendicular entre los dos ejes

El resultado anterior puede extenderse al cálculo completo del tensor de inercia. Dado una base vectorial B, el tensor de inercia según esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas están relacionados por la relación:

$\mathbf {I} _{O}=\mathbf {I} _{G}+m(\|{\boldsymbol {OG}}\|^{2}\mathbf {U} -\mathbf {OG} \otimes \mathbf {OG} )$

Símbolo	Nombre
${\boldsymbol {OG}}$	Vector con origen en O y extremo en G
$\mathbf {U}$	Matriz identidad

Segundo momento de área

La regla puede ser aplicada con la regla de extensión y el teorema de los ejes perpendiculares para encontrar momentos de inercia de una variedad de formas.

Regla de los ejes paralelos para el momento de inercia

La regla de los ejes paralelos también puede aplicarse al segundo momento de área (momento de inercia planar). Para una región plana "D":

$I_{z}=I_{x}+Ar^{2},\,$

Símbolo	Nombre
$I_{z}$	Momento de inercia planar de D relativo al eje paralelo
$I_{x}$	Momento de inercia planar de D relativa a su centroide
$A$	Área de una región plana D
$r$	Distancia del nuevo eje z al centroide de la región plana D

Nota: El centroide de D coincide con el centro de gravedad (CG) de una lámina fija. Con la misma forma que tiene densidad uniforme.

Tensor de inercia

En mecánica clásica, el teorema de Steiner (también como teorema de Huygens-Steiner) puede ser generalizado para calcular un nuevo tensor de inercia J_ij a partir de un tensor de inercia sobre el centro de masas I_ij cuando el punto pivotante es un desplazamiento a del centro de masas:

J_{ij}=I_{ij}+m(\|{\boldsymbol {a}}\|^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\!

Donde

{\boldsymbol {a}}=a_{1}{\boldsymbol {\hat {x}}}+a_{2}{\boldsymbol {\hat {y}}}+a_{3}{\boldsymbol {\hat {z}}}\!

Es el vector desplazamiento del centro de masas al nuevo eje, y

\delta _{ij}\!

Es la función delta de Kronecker.

Se puede ver que, para elementos diagonales (cuando i = j), desplazamientos perpendiculares al eje de rotación resultan en la versión simplificada mostrada arriba del teorema de Steiner.

Demostración

Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesianas la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

$I_{z,cm}=\int {(x^{2}+y^{2})}\ {\text{d}}m$

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

$I_{z}=\int {((x-r)^{2}+y^{2})}\ {\text{d}}m$

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

I_{z}=\int {(x^{2}+y^{2})}\ {\text{d}}m+r^{2}\int \ {\text{d}}m-2r\int {x}\ {\text{d}}m

El primer término es I_cm, el segundo término queda como mr², y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

I_{z}=I_{cm}+mr^{2}\,

Generalización

Para los momentos de tercer orden \scriptstyle J_{ijk}</math> se tiene la expresión:

$J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+Ad_{i}d_{j}d_{j}+{\frac {1}{2}}\sum \epsilon _{ijk}I_{ij}^{(CM)}d_{k}$

Símbolo	Nombre
$J_{ijk}^{(CM)}$	Momentos de tercer orden respecto al centro de masa
$I_{ij}^{(CM)}$	Momentos de segundo orden respecto al centro de masa
$\epsilon _{ijk}$	Símbolo de Levi-Civita

Si para el cálculo anterior se usan ejes paralelos a los ejes principales de inercia, se tiene: $J_{ijk}=J_{ijk}^{(CM)}+Ad_{i}d_{j}d_{j}.$ ||left}}

Aplicaciones

Ingeniería Estructural y Civil

Cálculo de secciones compuestas: Permite determinar el momento de inercia de vigas con formas complejas (como vigas en I, T o L) dividiéndolas en rectángulos más simples. Resistencia de materiales: Se utiliza para analizar la rigidez y la resistencia a la flexión de estructuras, ya que el momento de inercia define cómo se distribuye la masa respecto al eje de carga.

Ingeniería Mecánica y Diseño de Maquinaria

Dinámica de rotación: Es esencial para calcular la inercia de componentes que no giran sobre su propio centro, como engranajes excéntricos, bielas o volantes de inercia. Simplificación de cálculos: Dado que los momentos de inercia respecto al centroide suelen estar tabulados, el teorema evita realizar integrales complejas para cada nuevo eje de rotación.

Robótica y Aeroespacial

Sistemas multicuerpo: En robótica, ayuda a calcular el tensor de inercia de los eslabones de un brazo robótico cuando estos rotan alrededor de sus articulaciones, las cuales raramente coinciden con el centro de masa del eslabón. Estabilidad de satélites: Se emplea para ajustar el equilibrio y la rotación de naves espaciales mediante la reubicación de masas o el análisis de componentes móviles.

Aplicaciones en Física Experimental

Péndulos compuestos: Se aplica para hallar el periodo de oscilación de objetos que oscilan desde un punto que no es su centro de gravedad. Determinación de constantes: Se usa en laboratorios para medir la constante recuperadora de muelles o el radio de giro de sólidos con geometrías irregulares. Nota importante: Para que el teorema sea válido, el eje de referencia debe ser paralelo al eje que pasa por el centro de masas.