Teorema de Routh

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El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.

En geometría, el teorema de Routh[1] determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

Nomenclatura[editar]

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).


I=AD\cap CF, \quad G= AD \cap BE, \quad H=BE\cap CF


Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:


\overline{AF}/\overline{BF} = r
\overline{BD}/\overline{CD} = s
\overline{CE}/\overline{AE} = t


Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como AABC y AIGH.

Enunciado del teorema[editar]

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

A_{IGH} = \frac{(r\cdot s\cdot t - 1)^2}{(s\cdot t+s+1)(r\cdot t+t+1)(r\cdot s+r+1)}\; A_{ABC}.


El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. El nombre de este teorema es en honor al matemático inglés Edward John Routh FRS (20 enero 1831–7 junio 1907)