Teorema de Morera

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En análisis complejo, una rama de matemáticas, el Teorema de Morera, nombrado después de que Giacinto Morera, diera un criterio importante para probar que una función es holomorfa.

Sea ƒ una función de variable compleja definida en un conjunto abierto conexo D en el plano complejo que satisface

para cada curva que sea C1 a trozos en D debe ser holomorfa en D.

La suposición del Teorema de Morera es equivalente a que ƒ tiene una primitiva en D.

El inverso del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no necesita poseer una primitiva en su dominio, a no ser que uno imponga hipótesis adicionales. El inverso sostiene, por ejemplo, si el dominio es simplemente conexo; esto es el teorema integral de Cauchy, declarando que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.[1]

El contraejemplo estándar es la función f(z) = 1/z, la cual es holomorfa en ℂ - {0}. En cualquier entorno simplemente conexo U en ℂ - {0}, 1/z tiene una primitiva definida por L(z) = ln(r) + iθ, donde z = re. Debido a la ambigüedad de θ hasta la adición de cualquier múltiplo entero de 2π, cualquier elección continua de θ en U bastará para definir una primitiva de 1/z en U. Y porque la derivada de una constante aditiva es 0, cualquier constante puede ser añadida a la primitiva y es todavía una primitiva de 1/z.

En un sentido seguro, el 1/z es el contraejemplo universal: Para cada función analítica que no tiene primitiva en su dominio, la razón para esto es que 1/z no tiene primitiva en ℂ - {0}.

Referencias[editar]

  1. Javier Pérez (junio, 2004), [1] Curso de Variable Compleja.