Teorema de Laplace

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El teorema de Laplace (también conocido como regla de Laplace o desarrollo de Laplace), así llamado en honor del matemático francés homónimo es un teorema matemático que permite simplificar el cálculo de determinantes en matrices de elevadas dimensiones a base de descomponerlo en la suma de determinantes menores.

El teorema afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los determinantes de los adjuntos de cualquier fila o columna de la matriz, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n-1. Aplicado de forma sucesiva, permite llegar a matrices 3x3 (con lo que se puede aplicar la regla de Sarrus) o 2x2 (en el que el determinante es el producto de la diagonal principal menos el de la secundaria).

Se puede optimizar los cálculos aplicando la regla de Chio y haciendo ceros lo que reduce el número de determinantes de rango inferior a calcular.

Conceptos previos[editar]

Antes de afrontar el cálculo de determinantes por el teorema de Laplace, vamos a ver algunos conceptos necesarios para su desarrollo.

Matriz cuadrada[editar]

Una matriz en la que número de filas sea igual al de columnas, se denomina matriz cuadrada, si el número de filas y de columnas es n, se denomina matriz n×n o matriz cuadrada de orden n.

Determinante de una matriz[editar]

Se llama determinante de una matriz cuadrada de orden n, cuyos términos pertenecen al cuerpo K, al escalar que se obtiene al sumar todos los diferentes productos de n elementos, que se pueden formar con los elementos de la matriz, de modo que en cada producto figuren elementos de todas las filas y todas las columnas de la matriz, a cada producto se le asigna el signo: (+), si la permutación de los subíndices de filas de sus elementos es de la misma clase que la permutación de los subíndices de las columnas y el signo: (–) si las permutaciones son de distinta clase.

Menor complementario[editar]

Partiendo de una matriz cuadrada: A, de orden n, se llama menor complementario del elemento , y lo representamos al determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que resulta de eliminar de la matriz A la fila i y la columna j.

Dada la matriz cuadrada de orden 5:

el menor complementario del elemento , será :

y el menor complementario del elemento , será :

Adjunto de un elemento[editar]

Se llama adjunto del elemento y se representa al determinante que resulta al atribuir el signo: (+) al menor complementario si i+j es par o el signo: (–) si i+j es impar.

Dada la matriz cuadrada de orden 5:

el adjunto del elemento , será :

y el adjunto del elemento , será :

Caso general[editar]

Partiendo de una matriz cuadrada de grado n, según el teorema de Laplace el valor de su determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos, así tomando una fila f cualesquiera el determinante es:

Y tomando una columna c, será:

Función recursiva para el cálculo del determinante de una matriz[editar]

Podemos concluir con una Función recursiva para el cálculo del determinante, sabiendo que el valor del determinante de una matriz de orden uno es el único elemento de esa matriz, y el de una matriz de orden superior a uno es la suma de cada uno de los elementos de una fila o columna por los Adjuntos a ese elemento, como en la función recursiva se emplea la misma función definida el cálculo lo haremos por Menor complementario, un ejemplo desarrollado por la primera fila seria:

Matriz 3×3[editar]

Partiendo de una matriz 3×3:

Para calcular el determinante por los adjuntos de la primera fila:

Desarrollando los determinantes 2*2, tendremos:

Eliminando los paréntesis, tenemos:

Que podemos ordenar, para presentarlo en la forma usual de la Regla de Sarrus:

Producto vectorial[editar]

Un caso concreto de la aplicación del Teorema de Laplace es el Producto vectorial, partiendo de dos vectores u y v:

el producto vectorial de ambos es otro vector:

Que se calcula con el determinante:

Desarrollado por el Teorema de Laplace: