Teorema de Knaster-Tarski

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

El teorema de Knaster-Tarski, que lleva los nombres de Bronisław Knaster y Alfred Tarski, es un teorema matemático del área de la teoría de retículos.

Juicio[editar]

Sean \mathcal A:=\langle A,\leq\rangle un retículo completo, f\colon A\to A una función monótona y P:=\{x\in A\mid f(x)=x\} el conjunto de los puntos fijos de f en A. Entonces P\neq \emptyset und \mathcal P := \langle P, \leq\rangle es también un retículo completo.

Esbozo de demostración[editar]

Sean \textstyle\bigcup_\mathcal A la operación supremo de \mathcal A y \textstyle\bigcap_\mathcal A la operación ínfimo de \mathcal A.

Los siguientes pasos muestran que para subconjuntos arbitrarios de P, \mathcal P arroja un ínfimo y un supremo en P.

  1. \textstyle\bigcup_\mathcal A \{x\in A\mid x\leq f(x)\} es punto fijo de f, siendo además mayor que cualquier otro en A. Por tanto se trata del supremo \mathcal P de P.
  2. Dualmente al paso 1: \textstyle\bigcap_\mathcal A \{x\in A\mid f(x)\leq x\} es punto fijo de f, siendo además menor que cualquier otro en A.
  3. Para subconjuntos arbitrarios Y\subseteq P, se requiere que exista un supremo \mathcal P. Los casos Y=P y Y=\emptyset ya se consideraron en los pasos 1 y 2. Ahora se consideran los demás casos. Para ello se aprovecha el que \langle U,\leq\rangle con \textstyle U := \{x\in A\mid \bigcup_\mathcal A Y\leq x\} es a su vez un retículo completo y que f|_U es una función monótona U\to U, que de acuerdo al paso 2 tiene en U al menor de sus puntos fijos. Este es el supremo \mathcal P de Y. En símbolos: \textstyle\bigcup_\mathcal P Y := \bigcap_\mathcal A\{x\in A\mid \bigcup_\mathcal A Y \cup f(x)\ \leq\ x\}.
  4. Dualmente al paso 3 se muestra que para subconjuntos arbitrarios de P existe un ínfimo \mathcal P.

Corolarios[editar]

Un corolario frecuentemente utilizado es el de la existencia de los puntos fijos ínfimo y supremo para funciones monótonas con respecto a \subseteq.

Referencias[editar]