Teorema de Knaster-Tarski

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El teorema de Knaster-Tarski, que lleva los nombres de Bronisław Knaster y Alfred Tarski, es un teorema matemático del área de la teoría de retículos.

Juicio[editar]

Sean un retículo completo, una función monótona y el conjunto de los puntos fijos de en . Entonces und es también un retículo completo.

Esbozo de demostración[editar]

Sean la operación supremo de y la operación ínfimo de .

Los siguientes pasos muestran que para subconjuntos arbitrarios de , arroja un ínfimo y un supremo en .

  1. es punto fijo de , siendo además mayor que cualquier otro en . Por tanto se trata del supremo de .
  2. Dualmente al paso 1: es punto fijo de , siendo además menor que cualquier otro en .
  3. Para subconjuntos arbitrarios , se requiere que exista un supremo . Los casos y ya se consideraron en los pasos 1 y 2. Ahora se consideran los demás casos. Para ello se aprovecha el que con es a su vez un retículo completo y que es una función monótona , que de acuerdo al paso 2 tiene en al menor de sus puntos fijos. Este es el supremo de . En símbolos: .
  4. Dualmente al paso 3 se muestra que para subconjuntos arbitrarios de existe un ínfimo .

Corolarios[editar]

Un corolario frecuentemente utilizado es el de la existencia de los puntos fijos ínfimo y supremo para funciones monótonas con respecto a .

Referencias[editar]