Teorema de Dini
En análisis matemático, el teorema de Dini afirma que si una sucesión monótona de funciones continuas converge puntualmente en un espacio compacto y la función límite es también continua, la convergencia es uniforme.[1]
Enunciado formal
[editar]Si es un espacio topológico compacto, y es una sucesión monótonamente creciente (esto es, para todo y ) de funciones reales continuas en que converge puntualmente a una función continua , entonces la convergencia es uniforme. La misma afirmación se cumple si es monótonamente decreciente en lugar de creciente. El teorema recibe su nombre por Ulisse Dini.[2]
Este es uno de los pocos casos en matemáticas donde la convergencia puntual implica convergencia uniforme. La clave del resultado es el mayor control que implica la monotonía. Nótese también que la función límite ha de ser continua, ya que el límite uniforme de funciones continuas es necesariamente continuo.
Demostración
[editar]Sea cualquiera pero fijo. Para cada , sea , y sea el conjunto de los tales que . Cada es continua, y por tanto cada es abierto (ya que cada es la preimagen de un conjunto abierto bajo , una función continua no negativa). Dado que es monótonamente creciente, es monótonamente decreciente, por lo que la sucesión es ascendente. Dado que converge puntualmente a , se sigue que la colección es un recubrimiento abierto de . Por compacidad, existe un subrecubrimiento finito, y dado que los son ascendentes el mayor de estos es también un recubrimiento. Por tanto, obtenemos que existe un entero no negativo tal que . Esto es, si y es un punto en , entonces , como se buscaba demostrar.
Notas
[editar]- ↑ Edwards, 1994.Friedman, 2007.Graves, 2009.Thomson, Bruckner y Bruckner, 2008.
- ↑ De acuerdo a Edwards, 1994, «[Este teorema] se llama teorema de Dini porque Ulisse Dini (1845-1918) presentó la versión original en su libro sobre teoría de funciones de variable real, publicado en Pisa en 1878».
Referencias
[editar]- Bartle, Robert G. y Sherbert Donald R. (2000). Introduction to Real Analysis, 3.ª edición, Wiley, pág. 238.
- Edwards, Charles Henry (1994). Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2.
- Graves, Lawrence Murray (2009). The theory of functions of real variables. Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2.
- Friedman, Avner (2007). Advanced calculus. Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6.
- Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, 3.ª edición, Springer. Véase el Teorema 12.1 en la página 157 para el caso monótonamente creciente.
- Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, 3.ª edición, McGraw–Hill. Véase el Teorema 7.13 en la página 150 para el caso monótonamente decreciente.
- Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008). Elementary Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8.