Tangente (trigonometría)

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En trigonometría, el radio (abreviado tan) de un ángulo (en un triángulo rectángulo) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

O también como la relación entre el seno y el coseno:

$\tan(\alpha )={\frac {\operatorname {sen}(\alpha )}{\cos(\alpha )}}\,$

Forma geométrica

Dado el plano x-y con centro de coordenadas trazamos una circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro de coordenadas y forma un ángulo $\alpha$ con la parte positiva del eje x, tenemos:

$\tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}$

El segmento ${\overline {DE}}$ representa el valor de la tangente de $\alpha$

Otra forma de plantear la misma cuestión es trazar la recta perpendicular a r en el punto B, esta perpendicular corta al eje x en J, así que tenemos:

$\tan \alpha ={\frac {\overline {BJ}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {BJ}}{1}}={\overline {BJ}}$

con lo que tenemos una segunda forma de representar la tangente distinta de la anterior.

Representación gráfica

Identidades

Tangente de la suma de dos ángulos

Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno.

• Dados los ángulos $\phi ,\theta \$:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen}(\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}$

• Reemplazando por las identidades antes mencionadas:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }}$

• Dividiendo al numerador y al denominador por $\cos \phi \cos \theta \,$:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}$

• Separando la suma y la resta:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}+{\cfrac {\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}{{\cfrac {\cos \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}-{\cfrac {\sin \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}$

• Simplificando cada fracción:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\operatorname {sen} \phi }{\cos \phi }}+{\cfrac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}{1-{\cfrac {\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}$

• Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }}$

Tangente de la diferencia de dos ángulos

• $\tan \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\tan \phi +\tan(-\theta )}{1-\tan \phi \tan(-\theta )}}$

• Al ser una función impar, se obtiene:

$\tan \left(\phi -\theta \right)={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}$

Forma resumida

$\tan \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\tan \phi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \phi \tan \theta }}$

Tangente de un ángulo doble

Partiendo de

$\tan \left(\phi +\theta \right)={\frac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }}$

y haciendo $\phi =\theta \,$ entonces:

$\tan \left(2\phi \right)={\frac {2\tan \phi }{1-\tan ^{2}\phi }}$

Véase también

• Función impar
• Trigonometría

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Tangente». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.