En matemáticas , la tangente es una función impar y es una función periódica de periodo
π
{\displaystyle \pi }
con indeterminaciones en
π
2
+
n
π
,
n
∈
Z
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+n\pi ,\;n\in \mathbb {Z} }
, y además una función trascendente de variable real. Su nombre se abrevia tan [ 1] .
tan
x
=
−
tan
(
−
x
)
{\displaystyle \tan \;x=-\tan(-x)}
tan
x
=
tan
(
π
+
x
)
{\displaystyle \tan \;x=\tan(\pi +x)}
En trigonometría , la tangente de un ángulo (de un triángulo rectángulo ) se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente:
tan
α
=
a
b
=
B
C
O
C
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {BC}{OC}}}
Esta razón no depende del tamaño del triángulo rectángulo escogido sino que es una función dependiente del ángulo
α
.
{\displaystyle \alpha .}
Esta construcción permite representar el valor del tangente para ángulos no agudos.
Dada la circunferencia de radio 1 y una recta r que pasa por el centro, describe un triángulo rectángulo con ángulo
α
{\displaystyle \alpha }
como en la imagen, y tenemos las siguientes relaciones por semejanzas:
tan
α
=
C
B
A
C
=
D
E
A
D
=
D
E
1
=
D
E
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {CB}{AC}}={\frac {DE}{AD}}={\frac {DE}{1}}=DE}
El segmento
D
E
{\displaystyle DE}
representa el valor de la tangente de
α
.
{\displaystyle \alpha .}
Representación gráfica [ editar ]
Identidades [ editar ]
Tangente de la suma de dos ángulos [ editar ]
Esta identidad trigonométrica parte de la identidad de la suma de dos ángulos ya conocida para el seno y el coseno .
Dados los ángulos
ϕ
,
θ
{\displaystyle \phi ,\theta \ }
:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
sen
(
ϕ
+
θ
)
cos
(
ϕ
+
θ
)
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} (\phi +\theta )}{\cos(\phi +\theta )}}}
Reemplazando por las identidades antes mencionadas:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
sen
ϕ
cos
θ
+
cos
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
−
sen
ϕ
sen
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }}}
Dividiendo al numerador y al denominador por
cos
ϕ
cos
θ
{\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,}
:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
sen
ϕ
cos
θ
+
cos
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
−
sen
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta +\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}{\cfrac {\cos \phi \cos \theta -\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}
Separando la suma y la resta:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
sen
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
+
cos
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
−
sin
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\operatorname {sen} \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}+{\cfrac {\cos \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}{{\cfrac {\cos \phi \cos \theta }{\cos \phi \cos \theta }}-{\cfrac {\sin \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}}
Simplificando cada fracción:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
sen
ϕ
cos
ϕ
+
sen
θ
cos
θ
1
−
sen
ϕ
sen
θ
cos
ϕ
cos
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {{\cfrac {\operatorname {sen} \phi }{\cos \phi }}+{\cfrac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}{1-{\cfrac {\operatorname {sen} \phi \operatorname {sen} \theta }{\cos \phi \cos \theta }}}}}
Reemplazando las fracciones de seno y coseno por tangente, se obtiene:
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
tan
ϕ
+
tan
θ
1
−
tan
ϕ
tan
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\cfrac {\tan \phi +\tan \theta }{1-\tan \phi \tan \theta }}}
Tangente de la diferencia de dos ángulos [ editar ]
tan
(
ϕ
+
(
−
θ
)
)
=
tan
ϕ
+
tan
(
−
θ
)
1
−
tan
ϕ
tan
(
−
θ
)
{\displaystyle \tan \left(\phi +(-\theta )\right)={\frac {\tan \phi +\tan(-\theta )}{1-\tan \phi \tan(-\theta )}}}
tan
(
ϕ
−
θ
)
=
tan
ϕ
−
tan
θ
1
+
tan
ϕ
tan
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi -\theta \right)={\frac {\tan \phi -\tan \theta }{1+\tan \phi \tan \theta }}}
Fórmula resumida [ editar ]
tan
(
ϕ
±
θ
)
=
tan
ϕ
±
tan
θ
1
∓
tan
ϕ
tan
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi \pm \theta \right)={\frac {\tan \phi \pm \tan \theta }{1\mp \tan \phi \tan \theta }}}
Tangente del ángulo doble [ editar ]
Partiendo de
tan
(
ϕ
+
θ
)
=
tan
ϕ
+
tan
ψ
1
−
tan
ϕ
tan
θ
{\displaystyle \tan \left(\phi +\theta \right)={\frac {\tan \phi +\tan \psi }{1-\tan \phi \tan \theta }}}
y haciendo
ϕ
=
θ
{\displaystyle \phi =\theta \,}
entonces:
tan
(
2
ϕ
)
=
2
tan
ϕ
1
−
tan
2
ϕ
{\displaystyle \tan \left(2\phi \right)={\frac {2\tan \phi }{1-\tan ^{2}\phi }}}
Tangente del ángulo triple [ editar ]
Conociendo la tangente del ángulo ψ, hallar la tangente de 3ψ
tan
(
3
ψ
)
=
3
tan
ψ
−
tan
3
ψ
1
−
3
tan
2
ψ
{\displaystyle \tan \left(3\psi \right)={\frac {3\tan \psi -\tan ^{3}\psi }{1-3\tan ^{2}\psi }}}
Tangente del ángulo mitad [ editar ]
Se trata de hallar la tangente de la mitad de θ, conociendo los de θ:
tan
θ
2
=
sen
θ
1
−
cos
θ
{\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}}
[ 2]
Véase también [ editar ]
Referencias y notas [ editar ]
↑ En algunos textos o librerías de programas usan la abreviación tg
↑ Granville et all: Op. cit
Enlaces externos [ editar ]