Suma de Ramanujan

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En matemáticas la, suma de Ramanujan, llamada así por Srinivasa Ramanujan y normalmente escrita como cq(n), se define

donde n y q son enteros positivos, (a,q) son el máximo común divisor de a y q, y e(x) es la función exponencial exp(2πix).

Es fácilmente demostrable que la suma de Ramanujan es multiplicativa, p.e.

cq(n)cr(n)=cqr(n)

para cualquier (q,r) = 1.

Otra propiedad es que cq(n) es igual a su complejo conjugado, y por tanto real.

Escribiendo d como el máximo común divisor de q y n, y nombrando la función de Möbius y la función fi de Euler por μ y φ respectivamente, cumple la siguiente identidad:

Series relacionadas con la suma de Ramanujan[editar]

Ramanujan evaluó infinitas series de la forma

para diversas secuencias (aq).[1] En particular, para s cualquier número real mayor o igual que 1, encontró que las series de Dirichlet cumplían que:

donde σ es la función divisor y ζ la función zeta de Riemann. En los casos s = 1 y s = 2 esto es

y

respectivamente.

Otras identitidades obtenidas por Ramanujan son

y

donde r2(n) son el número de representaciones de n como x2 + y2 en enteros x e y.

Referencias[editar]

  1. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work, G. H. Hardy, Cambridge University Press, 1940