Sueño del sofomoro

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a la navegación Ir a la búsqueda

En matemáticas, el sueño de sophomore (en inglés Sophomore’s Dream) o traducido como el sueño del estudiante de segundo año, consiste en el par de identidades (especialmente la primera de ellas)

descubiertas en 1697 por Johann Bernoulli.

Los valores numéricos de estas constantes son aproximadamente y respectivamente.

Demostración[editar]

Gráfica de las funciones (rojo) y  (gris) en el intervalo .

Las demostraciones de las dos identidades son completamente análogas, por lo que sólo la demostración de la segunda de ellas se presenta. Los ingredientes claves para la demostración son:

  • Escribir donde se utiliza la notación para denotar la función exponencial .
  • Expandir  utilizando la serie de potencia para la función exponencial.
  • Integrar utilizando integración por sustitución.

En detalles, uno expande como

Por lo que

Por el teorema de la convergencia uniforme de las series de potencia, uno puede intercambiar los operadores de suma e integral para obtener

Para evaluar la integral de arriba, uno puede cambiar la variable de integración realizando la sustitución

Con esta sustitución, los límites de integración se transforman en obteniendo

Por la identidad integral de Euler para el función gamma, tenemos que

de modo que

Si intercambiamos los índices para que empiece en en lugar de obtenemos

Generalizaciones[editar]

Una generalización de las dos integrales de arriba consiste en la integral

siendo y números reales, esto es, .

Procediendo similarmente y utilizando la identidad

puede demostrarse que

Casos Particulares[editar]

Además de los casos y con el que recuperaríamos la integral

y el caso con el que obtenemos

es interesante dar algunos valores a y .

Si y entonces obtenemos

Si y entonces

Véase también[editar]