Sucesión de Lucas

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En matemáticas, especialmente en teoría de números, las sucesiones de Lucas, Un(P,Q) y Vn(P,Q) son ciertas sucesiones de enteros que satisfacen la relación de recurrencia

xn = P xn−1Q xn−2

Donde P y Q son enteros fijos. cualquier otra sucesión que satisfaga esta relación de recurrencia puede ser representada como combinación lineal de las Sucesiones de Lucas Un(P,Q) y Vn(P,Q).

Entre ellas se encuentran las sucesiones de los números de Lucas, que se obtienen de igual manera que la sucesión de Fibonacci, estando ambas estrechamente relacionadas, con el cambio de que los primeros dos números no son 1, 1, sino 2, 1. La sucesión de Lucas toma el nombre del matemático francés Édouard Lucas.

Números de Lucas[editar]

Los números de Lucas están dados por:

  • para

Teniendo ciertas propiedades como: La sucesión de Lucas tiene una gran similitud con la sucesión de Fibonacci y comparte muchas de sus características. Algunas propiedades interesantes incluyen:

  • La proporción entre un número de Lucas y su sucesor inmediato se aproxima al número áureo. Es decir
  • La fórmula explícita para la sucesión de Lucas es
  • La suma de los primeros números de Lucas es el número que se encuentra en la posición menos uno. Es decir
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Lucas puede expresarse en términos de números de Fibonacci mediante la igualdad
  • Cualquier fórmula que contenga un número de Fibonacci puede expresarse en términos de números de Lucas mediante la igualdad

Relaciones de Recurrencia[editar]

Teniendo en cuenta dos parámetros enteros P y Q, la sucesión de Lucas de la primera clase Un(P,Q) y de la segunda clase Vn(P,Q) Se definen por las relaciones de recurrencia:

y

No es difícil mostrar que para ,

Ejemplos[editar]

Los términos iniciales de la sucesión Un(P,Q) y Vn(P,Q) se dan en esta tabla:

Relaciones Algebraicas[editar]

La ecuación característica de la relación de recurrencia para las sucesiones de Lucas y es:

Tiene la discriminante y las raíces:

Por lo tanto:

Raíces Distintas[editar]

Cuando , a y b son distintos y uno verifica rápidamente que

.

De ello se desprende que los términos de secuencias de Lucas se pueden expresar en términos de a y b como

Raíces Repetidas[editar]

El caso en que ocurre exactamente cuando para algunos enteros S de manera que . En este caso se puede encontrar fácilmente qu

.

Sucesiones adicionales que tienen la misma dscriminante[editar]

Si las sucesiones y tienen discriminante , entonces la sucesión basada en y donde

tienen la misma discriminante: .

Nombres específicos[editar]

Las secuencias de Lucas para algunos valores de P y Q tienen nombres específicos:

Un(1,−1): Números de Fibonacci
Vn(1,−1): Números de Lucas
Un(2,−1): Números de Pell
Vn(2,−1): Números de Pell-Lucas
Un(1,−2): Números de Jacobsthal
Vn(1,−2): Números de Jacobsthal-Lucas
Un(3, 2): Números de Mersenne 2n − 1
Vn(3, 2): Números de la forma 2n + 1, que incluye los números de Fermat(Yubuta, 2001).
Un(x,−1): Polinomios de Fibonacci
Vn(x,−1): Polinomios de Lucas
Un(x+1, x): Repitunos en base x
Vn(x+1, x): xn + 1

Referencias[editar]