Subespacio (topología)

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Sea un espacio topológico.

será un subespacio de es un espacio topológico para la topología inducida por en , llamada topología del subespacio, topología inducida, topología relativa o topología traza.

Definición[editar]

Con definido arriba, definimos la topología del subespacio, , sobre como

.

Es decir, un subconjunto de S es abierto si es intersección de S con algún abierto de X.

Ejemplo[editar]

En la recta real, , con su topología habitual ...

  • La topología del subespacio de , subespacio de , es la topología discreta.

Propiedades[editar]

  • Todo conjunto cerrado es la intersección de S con un conjunto cerrado de X.
  • Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i) S es un subespacio abierto de X.
ii) Un subespacio de S es abierto en S.
iii) El subespacio de S es abierto en X.
  • Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
i) S es un subespacio cerrado de X.
ii) Un subespacio de S es cerrado en S.
iii) El subespacio de S es cerrado en X.
  • es una base para es una base para el subespacio .
  • La topología inducida por un espacio métrico a un subconjunto por la restricción de la métrica del espacio a ese subconjunto es la topología inducida del subespacio para ese subconjunto.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Bourbaki, Nicolas, Elements of Mathematics: General Topology, Addison-Wesley (1966)
  • Willard, Stephen. General Topology, Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6