Serie de Bell

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En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética y un número primo , se define la serie de potencias formal , llamada serie de Bell de módulo como:

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas y , se tiene que si y sólo si:

para todos los primos .

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera y , sea su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo , se tiene que:

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si es completamente multiplicativa, entonces:

Ejemplos[editar]

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

  • La función de Möbius tiene
  • Función φ de Euler tiene
  • La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet tiene
  • La función de Liouville tiene
  • La función potencia Idk tiene Aquí, Idk es la función completamente multiplicativa .
  • La función divisor tiene

Referencias[editar]