Relaciones de Cardano

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Dado el polinomio P(z)= a_0 + a_1z + a_2z^2 + a_3z^3 + ... + a_kz^k \, perteneciente a C[z] y dadas sus raíces z_1, z_2, z_3,...,z_k \, (pertenecientes a C), se cumplirán las siguientes ecuaciones (k ecuaciones en total):

z_1*z_2*z_3*...*z_k = (-1)^k*{a_0 \over a_k}

z_1*z_2*z_3*...*z_{k-1} + ... + z_2*z_3*...z_n = (-1)^{k-1}*{a_1 \over a_k}

. . .

z_1*z_2*z_3*...*z_j + ... + z_{n-j+1}*z_{n-j+2}*...z_k = (1)^j*{a_{n-j} \over a_k}

. . .

z_1*z_2 + z_1*z_3 + ... + z_{k-1}*z_k  = (-1)^2*{a_{k-2} \over a_k} = {a_{k-2} \over a_k}

z_1 + z_2 + z_3 + ... + z_k  = {(-1)^1*a_{k-1} \over a_k} = -{ a_{k-1} \over a_k}

Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.

Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).