Relación ternaria

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En matemáticas, una relación ternaria R es el conjunto de ternas,  (a,b,c) \in A \times B \times C que cumplen una determinada condición que define R

 R = \{ (a,b,c): \; a \in A \land b \in B \land c \in C \land R(a,b,c) = cierto \}

Ejemplo[editar]

  • Dado el conjunto N de los números naturales, definimos la relación ternaria S (a,b,c) tal que a + b = c:
 S = \{ (a,b,c): \; (a,b,c) \in \mathbb{N}^3 \land (a + b = c) \}

que resultaría el conjunto de ternas:

 S = \{ (1,1,2), (1,2,3), (2,1,3), (2,2,4), \cdots \}

Puede verse que se cumple que:

 S \subset \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N}
  • Partiendo del conjunto P de todas las personas, podemos definir la relación ternaria A ascendientes, formada por cada individuo i, su padre p y su madre m:
 A = \{ (i,p,m) \in P^3 \land p \mbox{ es padre de } i \land m \mbox{ es madre de } i \}

Clasificación[editar]

Relaciones homogéneas[editar]

Una relación ternaria homogénea \scriptstyle \mathcal{R} sobre un conjunto \scriptstyle A es un subconjunto de \scriptstyle A \times A \times A. Una relación ternaria homogénea se llama si para todo x, y, z se cumple:[1]

  • 1,2-simétrica sii (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (y,x,z)\in \mathcal{R}.
  • 1,3-simétrica o simplemente simétrica si (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (z,y,x)\in \mathcal{R}.
  • 2,3-simétrica sii (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (x,z,y)\in \mathcal{R}.
  • Completamente o fuertemente simétrica sii (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (u,v,w)\in \mathcal{R}, siendo (u, v, w) cualquier permutación de (x, y, z).
  • 1,3-asimétrica sii (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (z,y,x)\notin \mathcal{R}.
  • Fuertemente asimétrica sii (x,y,z)\in \mathcal{R} \Rightarrow (u,v,w)\notin \mathcal{R}, siendo (u, v, w) cualquier permutación de (x, y, z).
  • Reflexiva o completamente reflexiva sii \mbox{card}\{x,y,z\} \le 2  \Rightarrow (x,z,y)\in \mathcal{R}.
  • Transitiva sii (x,y,z),(x,z,u) \in \mathcal{R} \Rightarrow (x,y,u)\in \mathcal{R}.
  • Cíclica sii (x,y,z) \in \mathcal{R} \Rightarrow (z,x,y)\in \mathcal{R}.
  • Completa sii x \ne y \ne z \ne x \Rightarrow \exists(u,v,w)\in \mathcal{R}, siendo (u, v, w) una permutación de (x, y, z).

Nótese que una relación ternaria es fuertemente simétrica sii es 2,3-simétrica y cíclica. Una relación ternaria cíclica será también fuertemente asimétrica si es asimétrica.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Chajda & Novák

Bibliografía[editar]