Reducción de orden

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En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones (y_1) es conocida y se busca la segunda (y_2).

Uso[editar]

Dada una ecuación diferencial

y''+p(t)y'+q(t)y=0\,

y una sola solución (y_1(t)), y sea la segunda solución definida por

y_2=v(t)y_1(t)\,

donde v(t) es una función arbitraria. Así,

y_2'=v'(t)y_1(t)+v(t)y_1'(t)\,

y

y_2''=v''(t)y_1(t)+2v'(t)y_1'(t)+v(t)y_1''(t).\,

Si se sustituyen por y, y', y y'' a la ecuación diferencial, entonces

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'+(y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t))\,v=0.

Como y_1(t) es solución de la ecuación diferencial original, y_1''(t)+p(t)y_1'(t)+q(t)y_1(t)=0, se puede reducir a

y_1(t)\,v''+(2y_1'(t)+p(t)y_1(t))\,v'=0

que es una ecuación diferencial de primer orden por v'(t). Dividiendo por y_1(t), se obtiene

v''+\left(\frac{2y_1'(t)}{y_1(t)}+p(t)\right)\,v'=0

y v'(t) se puede encontrar utilizado el método general:

v'(t) = C_1\frac{1}{y_1^2(t)}e^{-\int p(t)dt}

Una vez se ha encontrado v'(t), se integra y se sustituye a la ecuación original por y_2:

y_2=v(t)y_1(t).\,

Referencias[editar]