Radical de un ideal

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En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal[editar]

Sea R un Anillo conmutativo y sea I un ideal del anillo. El conjunto \sqrt{I}:= \{r \in R |  \exist n \in \mathbb{N}, r^n \in I\} (también denotado por Rad(I)) se denomina radical del ideal I (o sencillamente radical de I).

Si a \in \hbox{Rad}(I) es que existe un entero n \geq 0 tal que a^n \in I. Así, si r \in R es (a r)^n =  a^n r^n \in I.

Si además b \in \hbox{Rad}(I) existirá otro entero m \geq 0 de manera que b^m \in I.

Por el Teorema del binomio:

(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}
  • Si  i < n entonces es n+m-i < n+m-n = m, luego el exponente de b es mayor o igual que m, y así a^i b^{n+m-i}=a^i (b^m)b^{n+m-i-m} \in I.
  • Si  i\geq n entonces es a^i b^{n+m-i} = (a^n)a^{i-n} b^{n+m-i} \in I ya que a^n \in I.

En cualquier caso, cada sumando de (a+b)^{n+m} está en I, que es un ideal de R, luego (a+b)^{n+m} \in I y será a+b \in Rad(I).

Así Rad(I) es un ideal de R.

Un ideal I de un anillo conmutativo y unitario R se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si Rad(I)=I. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si P es un ideal primo, entonces R/P es un dominio íntegral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos \pi:R \longrightarrow R/I la proyección canónica de R sobre I, entonces Rad(I) = \pi^{-1}(N(R/I)) (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que Rad(I) es un ideal de R; aquí, N(R) es el nilradical de R, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si r \in \pi^{-1}(N(R/I)), entonces para algún n \geq 0, \pi(r)^n = \pi(r^n) es cero en R/I, y por tanto r^n está en I. Recíprocamente, si r^n está en I para algún n \geq 0 será r^n \in I, entonces (\pi(r))^n = \pi(r^n)es cero en R/I, y por tanto \pi(r) está en N(R/I).

Mediante el uso de la localización, podemos ver que Rad(I) es la intersección de todos los ideales primos de R que contienen a I: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a I contienen a Rad(I). Si r es un elemento de R que no está en Rad(I), entonces sea S el conjunto \{r^n: n \in \mathbb{Z}, n > 0 \}. S es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización S^{-1}R.

El nilradical[editar]

Sea R un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de R forman un ideal N. Sean a y b elementos nilpotentes de R con a^n = 0 y b^m = 0. Probamos que a+b es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}

Para cada i, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

  • i \geq n
  • n+m-i \geq m

Esto dice que en cada expresión a^i \cdot b^{n+m-i}, o bien el exponente de a será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si  i<n entonces es n+m-i > n+m-n = m, luego el exponente de b es mayor o igual que m, y así a^i b^{n+m-i}=a^i \cdot(b^m)^{n+m-i-m}=a^i 0^{n-i}=0), o bien el exponente de b será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si i \geq n entonces es a^i b^{n+m-i} = (a^n)^{i-n} b^{n+m-i} = 0^{i-n} b^{n+m-i} = 0 ). Así tenemos que a+b es nilpotente, y por tanto está en N.

Para terminar de comprobar que N es un ideal, cogemos un elemento arbitrario r \in R. (r \cdot a)^n = r^n \cdot a^n = r^n \cdot 0 = 0, así que r \cdot a es nilpotente, y está por tanto en N. Con lo que N es un ideal.

N se denomina entonces nilradical de R, o radical nilpotente de R, y se denota por N(R). Al anillo \frac{R}{N(R)} se le denomina anillo reducido (asociado a R), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que N(R/N(R))=\{0\}.

Es sencillo demostrar que N(R)=Rad(\{0\}), esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de R es la intersección de todos los ideales primos de R.