Radical de un ideal

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En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal[editar]

Sea un Anillo conmutativo y sea un ideal del anillo. El conjunto se denomina radical del ideal (o sencillamente radical de ).

Si es que existe un entero tal que . Así, si es .

Si además existirá otro entero de manera que .

Por el Teorema del binomio:

  • Si entonces es , luego el exponente de es mayor o igual que , y así .
  • Si entonces es ya que .

En cualquier caso, cada sumando de está en , que es un ideal de , luego y será .

Así es un ideal de .

Un ideal de un anillo conmutativo y unitario se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si . Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si es un ideal primo, entonces es un dominio íntegral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos la proyección canónica de sobre , entonces (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que es un ideal de ; aquí, es el nilradical de , definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si , entonces para algún , es cero en , y por tanto está en . Recíprocamente, si está en para algún será , entonces es cero en , y por tanto está en .

Mediante el uso de la localización, podemos ver que es la intersección de todos los ideales primos de que contienen a : cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a contienen a . Si es un elemento de que no está en , entonces sea el conjunto . es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización .

El nilradical[editar]

Sea un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de forman un ideal . Sean y elementos nilpotentes de con y . Probamos que es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

Para cada , se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

Esto dice que en cada expresión , o bien el exponente de será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si entonces es , luego el exponente de es mayor o igual que , y así ), o bien el exponente de será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si entonces es ). Así tenemos que es nilpotente, y por tanto está en .

Para terminar de comprobar que es un ideal, cogemos un elemento arbitrario . , así que es nilpotente, y está por tanto en . Con lo que es un ideal.

se denomina entonces nilradical de , o radical nilpotente de , y se denota por . Al anillo se le denomina anillo reducido (asociado a ), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que .

Es sencillo demostrar que , esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de es la intersección de todos los ideales primos de .