Prueba M de Weierstrass

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemáticas, la prueba M de Weierstrass es un criterio para comprobar la convergencia uniforme de una serie infinita cuyos términos son al mismo tiempo funciones de variable real o compleja.

Sea una sucesión de funciones de variable real o compleja definidas en un conjunto , y supongamos que para cada existe una constante positiva tal que

para todo y todo en . Supongamos también que la serie

converge. Entonces la serie

converge uniformemente en . En particular, si el conjunto A es un espacio topológico y las funciones son continuas en , entonces la serie converge a una función continua.

Demostración[editar]

Para cada en la serie converge, según la prueba de comparación; en consecuencia converge (absolutamente). Además, para todo en tenemos:

Al ser convergente, el número puede hacerce tan pequeño como se quiera, eligiendo suficientemente grande.

Una versión más general de la prueba M de Weierstrass se mantiene si el codominio de las funciones es cualquier espacio de Banach, en cuyo caso la afirmación

puede ser reemplazada por

,

donde es la norma definida en el espacio de Banach.


Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Marsden Jerrold, Hoffman Michael, Análisis clásico elemental, W.H Freeman and Company, 1993.
  • Rudin, Walter (enero de 1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8. 
  • Rudin, Walter (mayo de 1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1. 
  • Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.