Proyección de Mollweide

Proyección de Mollweide.

La proyección de Mollweide, también conocida como Babinet, es una proyección cartográfica equitativa y pseudocilíndrica, usada generalmente para mapas de la Tierra o del cielo nocturno.

La proyección fue publicada por primera ocasión por el matemático y astrónomo Karl Mollweide (1774–1825) de Leipzig en 1805. Fue reinventada y popularizada en 1857 por Jacques Babinet, quien le dio el nombre de proyección homalográfica.

Su propósito es representar la proporción de las áreas con la máxima exactitud posible.

Propiedades

Mapamundi representado usando la proyección de Mollweide.

El ecuador tiene el doble de longitud que el eje corto, el meridiano central o tipo, es recto. Los meridianos a 90° son arcos circulares. Los paralelos son rectos pero desigualmente espaciados. La escala es falsa sólo a lo largo de los paralelos estándar de 40:44N y 40:44S, por lo que tiene una mayor representación por la zona ecuatorial. La proyección de Mollweide es usada para mapas del mundo, especialmente para representar zonas de latitudes bajas.

Formulación matemática

La latitud y longitudes en coordenadas x e y por medio de las siguientes ecuaciones:​

$x=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \left(\theta \right),$

$y=R{\sqrt {2}}\sin \left(\theta \right),\,$

donde θ es un ángulo auxiliar definido por

$2\theta +\sin \left(2\theta \right)=\pi \sin \left(\varphi \right)\qquad (1)$

y λ es la longitud, λ₀ es el meridiano central, φ es la latitud, y R es el radio del globo a ser proyectado. El mapa tiene como área 4πR², conforme a la superficie de globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2R√2, 2R√2], y la coordenada y tiene un rango de [−R√2, R√2].

La ecuación (1) puede ser resuelta con una convergencia rápida (pero lenta cerca de los polos) usando la iteración del Método de Newton–Raphson:​

$\theta _{0}=\varphi ,\,$

$\theta _{n+1}=\theta _{n}-{\frac {2\theta _{n}+\sin \left(2\theta _{n}\right)-\pi \sin \left(\varphi \right)}{2+2\cos \left(2\theta _{n}\right)}}.\,$

Si φ = ±π/2, entonces también θ = ±π/2. En ese caso la iteración debe evitarse; de otro modo, podría resultar en división por cero.

Existe una forma cerrada de transformación inversa:​

$\varphi =\arcsin \left[{\frac {2\theta +\sin \left(2\theta \right)}{\pi }}\right],\,$

$\lambda =\lambda _{0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\,$

donde θ se puede encontrar por la relación

$\theta =\arcsin \left({\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}\right).\,$

Las transformaciones inversas permiten encontrar la latitud y longitud correspondientes a las coordenadas x e y.

Véase también

• Mapa
• Cartografía
• Historia de la cartografía
• Proyección cartográfica
• Anexo:Cronología de las proyecciones cartográficas

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Proyección de Mollweide.
• Weisstein, Eric W. «Mollweide Projection». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• An interactive JAVA applet to study deformations (area, distance and angle) of the Mollweide Map Projection (en inglés)

• Datos: Q1141440
• Multimedia: Mollweide projection / Q1141440