Propiedad topológica

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En topología y áreas afines de las matemáticas, una propiedad topológica o invariante topológico es una propiedad de un espacio topológico que es invariante bajo un homeomorfismo. Es decir, una propiedad de espacio es una propiedad topológica, si cada vez que un espacio X posee esa propiedad, cada espacio homeomorfo a X la posee también. Informalmente, una propiedad topológica es una propiedad del espacio que puede ser expresada usando conjuntos abiertos.

Un problema común en topología es decidir si dos espacios topológicos son homeomorfos o no. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos, es suficiente con encontrar una propiedad topológica que no sea compartida por ellos.

Propiedades topológicas comunes[editar]

Funciones cardinales[editar]

  • La cardinalidad |X| del espacio X.
  • La cardinalidad τ(X) de la topología del espacio X.
  • El peso w(X), la menor cardinalidad de una base de la topología del espacio X.
  • La densidad d(X), la menor cardinalidad de un subconjunto de X cuyo cierre es X.

Separación[editar]

Para un tratamiento detallado, vea axioma de separación. Algunos de estos términos se definen de manera diferente en la literatura matemática antigua; ver la historia de los axiomas de separación.

  • T0 o Kolmogorov. Un espacio es de Kolmogórov si para cada par de puntos x e y en el espacio, hay o bien un conjunto abierto que contiene a x pero no a y o bien un conjunto abierto que contiene a y pero no a x.
  • T1 o Fréchet. Un espacio es Fréchet si para cada par de puntos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene x pero no y. (Comparar con T0; aquí, nos permite especificar qué punto será contenido en el conjunto abierto.) Equivalentemente, un espacio es T1 si todos sus solteros están cerradas. T1 espacios son siempre T0.
  • Sobrio. Un espacio es sobrio si cada conjunto cerrado irreducible C tiene un genérico único punto p. En otras palabras, si C no es la Unión (posiblemente nondisjoint) de dos subconjuntos más pequeños cerrados, entonces existe un p tal que el cierre de {p} es igual a C, y p es el único punto con esta propiedad.
  • T2 o Hausdorff. Un espacio es Espacio de Hausdorff si cada dos puntos distintos poseen vecindades separadas. Espacios T2 son siempre T1.
  • T2 o Urysohn. Un espacio es Urysohn si cada dos puntos distintos poseen vecindades disjuntas cerrado. T2 espacios son siempre T2.
  • Regular. Un espacio es Espacio regular si cuando C es un conjunto cerrado y p es un punto no en C, entonces C y p poseen vecindades separados.
  • T3 o Hausdorff regular. Un espacio es Hausdorff regular si es regular y T0. (Un espacio regular es Hausdorff si es T0, por lo que la terminología es consistente.)
  • Completamente regular. Un espacio es completamente normal si cuando C es un conjunto cerrado y p es un punto no en C, entonces C y {p} están separados por una función.
  • T3, Tychonoff, Hausdorff completamente regular o completamente T3. Un espacio de Tychonoff es completamente regular T0 espacio. (Un espacio totalmente regular es Hausdorff si es T0, por lo que la terminología es constante.) Espacios de Tychonoff son siempre regular Hausdorff.
  • Normal. Un espacio es Espacio normal si dos conjuntos cerrados disjuntos poseen vecindades separadas. Espacios normales admiten particiones de la unidad.
  • T4 o Hausdorff normal. Un espacio normal es Hausdorff si es T1. Espacios de Hausdorff normales son siempre Tychonoff.
  • Completamente normal. Un espacio es completamente normal si cualesquiera dos conjuntos separados tienen vecindades separadas.
  • T5 o Hausdorff completamente normal. Un espacio completamente normal es Hausdorff si es T1. Espacios de Hausdorff completamente normales son siempre Hausdorff normal.
  • Perfectamente normal. Un espacio es perfectamente normal, si los dos conjuntos cerrados disjuntos son precisamente separados por una función. Un espacio perfectamente normal también debe ser completamente normal.
  • Hausdorff perfectamente normal, o perfectamente T4. Un espacio es Hausdorff perfectamente normal, si es perfectamente normal y T1. Un espacio de Hausdorff perfectamente normal también debe ser completamente normal Hausdorff.
  • Espacio discreto. Un espacio es discreto si todos sus puntos están completamente aislados, es decir, si cualquier subconjunto está abierto.

Condiciones de numerabilidad[editar]

  • Separables. Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso numerable.
  • Lindelöf. Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene un subrecubrimiento numerable.
  • Primera-contable. Un espacio es primera contable si cada punto tiene una base local contable.
  • Segundo-contable. Un espacio es segundo contable si tiene un contable base para su topología. Segundo contable espacios son siempre separable, primera contable y Lindelöf.

Conectividad[editar]

  • Conectado. Un espacio está conectado, si no es la unión de un par de disjuntos no vacía de conjuntos abiertos. Equivalentemente, un espacio está conectado si el único conjunto clopen son el conjunto vacío y el propio.
  • Conectado localmente. Un espacio es localmente conexo si cada punto tiene una base local de sistemas conectados.
  • Totalmente desconectado. Un espacio es totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conectado con más de un punto.
  • Conectado por el camino. Un espacio X es conectado por el camino si para cada dos puntos x, y en X, hay un camino p de x a y, es decir, una función continua p: & nbsp;[0,1] & nbsp; → & nbsp;X p(0) = x y p(1) = y. Espacios conectados por el camino siempre están conectados.
  • Ruta-conectado localmente. Un espacio es localmente conexo de ruta si cada punto tiene una base local de sistemas conectados por el camino. Un espacio localmente conexo de ruta se conecta sólo si es conectado por el camino.
  • Simplemente conectado. Un espacio X es simplemente conexo si es conectado por el camino y cada función continua f: & nbsp;S1& nbsp; → & nbsp;X es homotópica a un mapa constante.
  • Localmente simplemente conexo. Un espacio X es localmente simplemente conexo si cada punto x en X tiene una base local de barrios U que es simplemente conexa.
  • Semi-localmente conectado. Es un espacio X semi-locally simplemente conexo si cada punto tiene una base local de vecindades U tal que cada bucle en U es termocontraibles en X. Semi-local conectividad simple, una condición estrictamente más débil que la conectividad simple local, es una condición necesaria para la existencia de una cobertura universal.
  • Termocontraíbles. Un espacio X es termocontraíble si la mapa de la identidad en X es homotópica a un mapa constante. Espacios termocontraíbles siempre son simplemente conexo.
  • Hiperconectado. Un espacio es hiperconectado si no dos conjuntos abiertos no vacíos son disjuntos. Cada espacio hiperconectado está conectado.
  • Ultraconectado. Un espacio es ultraconectado si no dos conjuntos cerrados no vacíos son disjuntos. Cada espacio ultraconectado es conectado por el camino.
  • Indiscreto o trivial. Un espacio es indiscreto si los conjuntos abiertos sólo son el conjunto vacío y el propio. Ese espacio se dice que tiene la topología trivial.

Compacidad[editar]

  • Compacto. Un espacio es compacto si cada tapa tiene un subrecubrimiento finito. Algunos autores llaman estos espacios quasicompactos y reservan compacto para espacios de Espacio de Hausdorff donde cada cubierta abierta tiene subrecubrimiento finito. Espacios compactos son siempre Lindelöf y paracompacto. Por lo tanto, espacios compactos de Hausdorff son normales.
  • Secuencialmente compacto. Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
  • Compacto numerable. Un espacio es enumerable compacto si cada cubierta contable abierta tiene un subrecubrimiento finito.
  • Pseudocompact. Un espacio es pseudocompacto si cada función real continua en el espacio es limitado.
  • Σ-compact. Un espacio es σ-compacto si es la Unión de subconjuntos compactos contablemente muchos.
  • Paracompacto. Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento localmente finito abierto. Espacios de Hausdorff paracompacto son normales.
  • Localmente compacto. Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene una base local de vecindades compactas. También se utilizan definiciones ligeramente diferentes. Espacios localmente compactos de Hausdorff son siempre Tychonoff.
  • Ultraconexo compacto. En un espacio compacto ultraconexo X cada cubierta abierta debe contener X a sí mismo. espacios compactos no vacíos ultra-conectados tienen un mayor subconjunto abierto llamado monolito.

Metrizabilidad[editar]

  • Metrizable. Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico. Espacios metrizables siempre son Hausdorff y paracompacto (y por lo tanto normal y Tychonoff) y primer-contable.
  • Polaco. Un espacio se llama polaco si es metrizable con una métrica separable y completa.
  • Localmente metrizable. Un espacio localmente es metrizable si cada punto tiene un vecindad metrizable.

Miscelánea[editar]

  • Espacio de Baire. Un espacio X es un espacio de Baire si no es escaso en sí mismo. Equivalentemente, X es un espacio de Baire si la intersección de conjuntos abiertos densos numerable es muy densa.
  • Homogéneo. Un espacio X es homogéneo si para cada x y y en X existe un homeomorfismo f: X & rarr; X tal que f(x) = y. Intuitivamente hablando, esto significa que el espacio se ve igual en cada punto. Todos los grupos topológicos son homogéneos.
  • Finitamente generado o Alexandrov. Un espacio X es Topología de Alexandrov si intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertos, o equivalentemente si uniones arbitrarias de conjuntos cerrados están cerrados. Estos son precisamente los miembros finitamente generados de la categoría de espacios topológicos y mapeos continuos.
  • Cero-dimensional. Un espacio es cero dimensional si tiene una base de conjuntos clopen. Estos son precisamente los espacios con una pequeña dimensión inductiva de 0.
  • Casi discreta. Un espacio es casi discreto si cada conjunto abierto está cerrado (por lo tanto clopen). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios cero-dimensional finitamente generados.
  • Boolean. Un espacio es booleano si es cero-dimensional, compacto y Hausdorff (equivalentemente, totalmente desconectado, compacto y Hausdorff). Estos son precisamente los espacios que son homeomórficos en el espacio de piedras del álgebra de Boole.
  • Torsión de Reidemeister
  • \kappa-soluble. Un espacio κ se dice que es soluble[1] (respectivamente: casi κ-soluble) si contiene κ conjuntos densos que están por pares disjuntos (respectivamente: casi separados sobre el ideal de subconjuntos densos no localizables). Si el espacio no es \kappa-soluble se le llama \kappa-irresoluble.
  • Máximamente soluble. El espacio X es soluble máximamente si es \Delta(X)-soluble, \Delta(X) =
\min\{|G| : G\neq\emptyset, G\mbox{ is open}\}. Al número \Delta(X) se llama carácter de dispersión de X.
  • Muy discreto. El conjunto D es muy discreto del subconjunto del espacio X si los puntos en D pueden separarse por pares de vecindades disjuntas. El espacio X se dice que es muy discreto si cada punto no aislado de X es el punto de acumulación de un conjunto muy discreto.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Juhász, István; Soukup, Lajos; Szentmiklóssy, Zoltán (2008). «Resolvability and monotone normality» (en inglés). Israel Journal of Mathematics (The Hebrew University Magnes Press) 166 (1):  pp. 1–16. doi:10.1007/s11856-008-1017-y. ISSN 0021-2172. http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs11856-008-1017-y.pdf. Consultado el 4 de diciembre de 2012. 

Bibliografía[editar]