Probabilidad condicionada

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Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición[editar]

Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) con , la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

...

Interpretación[editar]

Tomando los casos en los que B se cumple, se puede interpretar como la parte en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Propiedades[editar]

Es decir, si todos los que tienen gripe siempre tienen dolor de cabeza, entonces la probabilidad de tener dolor de cabeza dado que tengo gripe es 1.

Independencia de sucesos[editar]

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

Exclusividad mutua[editar]

Los conjuntos A y B no tienen intersección. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces, .

Además, si entonces es igual a 0.

La falacia de la probabilidad condicional[editar]

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

(Teorema de Bayes)

Problemas de ejemplo[editar]

La paradoja del falso positivo[editar]

La magnitud del error cometido con esta falacia se entiende mejor en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

y

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

y

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

y


Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:



La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:



La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:



La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:



Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:



Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.



La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001:

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99:

La probabilidad de falso positivo es de 0,05:

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?