Distribución binomial

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Distribución binomial
Función de masa de probabilidad
Función de probabilidad
Función de distribución acumulada
Función de distribución de probabilidad
Parámetros n \geq 0 número de ensayos (entero)
0\leq p \leq 1 probabilidad de éxito (real)
Dominio k \in \{0,\dots,n\}\!
Función de probabilidad (fp) {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
Función de distribución (cdf) I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Media np\!
Mediana Uno de \{\lfloor np\rfloor, \lceil np \rceil\}[1]
Moda \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Varianza np(1-p)\!
Coeficiente de simetría \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
Curtosis \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!
Entropía  \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right) + O \left( \frac{1}{n} \right)
Función generadora de momentos (mgf) (1-p + pe^t)^n \!
Función característica (1-p + pe^{it})^n \!

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

X \sim B(n, p)\,

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Ejemplos[editar]

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

  • Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
  • Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

Experimento binomial[editar]

Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).

Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos.

Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p).

Características analíticas[editar]

Su función de probabilidad es

\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!

donde x = \{0, 1, 2, \dots , n\},

siendo \!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\! las combinaciones de n \,\! en x \,\! (n \,\! elementos tomados de x \,\! en x \,\!)

Ejemplo[editar]

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

\!P(X=20)={50 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{50-20} \,\!

Propiedades[editar]

\mathbb{E}[X] = np\,
\mathbb{V}\text{ar}[X] =np(1-p)\,

Relaciones con otras variables aleatorias[editar]

Si n tiende a infinito y p es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a \lambda \,\!, entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro \lambda.

Por último, se cumple que cuando p =0.5 y n es muy grande (usualmente se exige que n \geq 30 ) la distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.

Propiedades reproductivas[editar]

Dadas n variables binomiales independientes de parámetros ni (i = 1,..., n) y p, su suma es también una variable binomial, de parámetros n1+... + nn, y p, es decir,

Y = \sum^{n}_{i = 1} X_i \sim B(\sum^{n}_{i = 1} n_i, p)\,

Referencias[editar]

  1. Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

Enlaces externos[editar]