Politopo compuesto

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Modelo en cartulina de un poliedro compuesto hecho con dos tetraedros, denominado estrella octángula

Un politopo compuesto es una figura que está formada por varios politopos que comparten un centro común. En dos dimensiones se denominan compuestos poligonales, y en tres dimensiones se denominan compuestos poliédricos.

Los vértices exteriores de un compuesto pueden ser conectados entre sí para formar un politopo convexo, denominado envolvente convexa. El compuesto es a su vez un faceteado de la envolvente convexa.

Otro politopo convexo está formado por el espacio central común a todos los miembros del compuesto. Este politopo puede ser considerado como el núcleo de un conjunto de estelaciones.

Compuestos poliédricos regulares[editar]

Un compuesto de poliedros regulares puede ser definido como aquel que, como un poliedro regular, posee la propiedad transitiva respecto a vértices, aristas, y caras. Existen cinco compuestos regulares de poliedros.

Componentes

Símbolos de Coxeter

Imagen Diagrama Esférico Envolvente convexa

(Núcleo)

Simetría Estricción del subgrupo de un componente Dual
Dos tetraedros
{4,3}[2{3,3}]{3,4}
Compound of two tetrahedra.png Spherical compound of two tetrahedra.png Cubo
(Octaedro)
Oh Td Auto-dual
Cinco tetraedros
{5,3}[5{3,3}]{3,5}
Compound of five tetrahedra.png Spherical compound of five tetrahedra.png Dodecaedro
(Icosaedro)
I T Gemelo enantiomórfico quiral
Diez tetraedros
2{5,3}[10{3,3}]2{3,5}
Compound of ten tetrahedra.png Spherical compound of ten tetrahedra.png Dodecaedro
(Icosaedro)
Ih T Auto-dual
Cinco cubos
2{5,3}[5{4,3}]
Compound of five cubes.png Spherical compound of five cubes.png Dodecaedro
(Triacontaedro rómbico)
Ih Th Cinco octaedros
Cinco octaedros
[5{3,4}]2{3,5}
Compound of five octahedra.png Spherical compound of five octahedra.png Icosidodecaedro
(Icosaedro)
Ih Th Cinco cubos

Es bien conocido el compuesto de dos tetraedros, a menudo denominado estrella octángula, un nombre ideado por Johannes Kepler. Los vértices de los dos tetraedros definen un cubo y el sólido común es un octaedro, que comparte los mismos planos que definen las caras del compuesto. Por ello es una estelación del octaedro, de hecho, la única estelación finita del mismo.

La estrella octángula también puede ser considerada como un compuesto dual regular.

El compuesto de cinco tetraedros posee dos versiones enantiomórficas, que al unirse forman el compuesto de 10 tetraedros. Cada uno de los compuestos tetraédricos es auto dual, y el compuesto de 5 cubos es dual con respecto al compuesto de 5 octaedros.

Compuestos poliédricos duales[editar]

Un compuesto dual está formado por un poliedro y su dual, dispuestos recíprocamente sobre una intraesfera o esfera media común, de forma que cada arista de un poliedro se cruza con una arista del poliedro dual. Existen cinco de estos compuestos duales de poliedros regulares.

Componentes Imagen Envolvente convexa Núcleo Simetría
Dos tetraedros
(Estrella octángula)
Compound of two tetrahedra.png Cubo Octaedro Oh
Cubo y Octaedro Compound of cube and octahedron.png Rombododecaedro Cuboctaedro Oh
Dodecaedro e Icosaedro Compound of dodecahedron and icosahedron.png Triacontaedro rómbico Icosidodecaedro Ih
Gran icosaedro y Gran dodecaedro estrellado Compound of great icosahedron and stellated dodecahedron.png Dodecaedro Icosidodecaedro Ih
Pequeño dodecaedro estrellado y Gran dodecaedro Compound of great dodecahedron and small stellated dodecahedron.png Icosaedro Dodecaedro Ih

El tetraedro es auto dual, así que el compuesto dual de un tetraedro con su poliedro dual es también la estrella octángula regular.

El cubo-octaedro y el dodecaedro-icosaedro, compuestos duales, son la primera estelación del cuboctaedro y del icosidodecaedro respectivamente.

El compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y del gran dodecaedro es igual al pequeño dodecaedro estrellado, porque el gran dodecaedro queda completamente contenido en el interior de su dual. Por esta razón, la imagen con la que se representa en la tabla anterior el pequeño dodecaedro estrellado es alámbrica.

Compuestos poliédricos uniformes[editar]

En 1976 John Skilling publicó "Compuestos Uniformes de Poliedros Uniformes", obra en la que enumeró 75 compuestos (incluyendo 6 conjuntos de compuestos prismáticos infinitos, #20-#25) formados a partir de poliedros uniformes con simetría rotacional (cada vértice es transitivo con cada otro vértice). Esta lista incluye los cinco compuestos regulares anteriormente descritos.[1]

Los 75 compuestos uniformes están listados en la tabla siguiente. La mayoría se muestra con un color distinto para cada poliedro. Algunos pares quirales de grupos de caras se han coloreado según su simetría dentro de cada poliedro.

  • 1-19: Misceláneos (4, 5, 6, 9, 17 son los 5 compuestos regulares)
UC01-6 tetrahedra.png UC02-12 tetrahedra.png UC03-6 tetrahedra.png UC04-2 tetrahedra.png UC05-5 tetrahedra.png UC06-10 tetrahedra.png
UC07-6 cubes.png UC08-3 cubes.png UC09-5 cubes.png UC10-4 octahedra.png UC11-8 octahedra.png UC12-4 octahedra.png
UC13-20 octahedra.png UC14-20 octahedra.png UC15-10 octahedra.png UC16-10 octahedra.png UC17-5 octahedra.png UC18-5 tetrahemihexahedron.png
UC19-20 tetrahemihexahedron.png
  • 20-25: Simetría prismática embebida en simetría prismática,
UC20-2k n-m-gonal prisms.png UC21-k n-m-gonal prisms.png UC22-2k n-m-gonal antiprisms.png UC23-k n-m-gonal antiprisms.png UC24-2k n-m-gonal antiprisms.png UC25-k n-m-gonal antiprisms.png
  • 26-45: Simetría prismática embebida en simetría octaédrica o icosaédrica,
UC26-12 pentagonal antiprisms.png UC27-6 pentagonal antiprisms.png UC28-12 pentagrammic crossed antiprisms.png UC29-6 pentagrammic crossed antiprisms.png UC30-4 triangular prisms.png UC31-8 triangular prisms.png
UC32-10 triangular prisms.png UC33-20 triangular prisms.png UC34-6 pentagonal prisms.png UC35-12 pentagonal prisms.png UC36-6 pentagrammic prisms.png UC37-12 pentagrammic prisms.png
UC38-4 hexagonal prisms.png UC39-10 hexagonal prisms.png UC40-6 decagonal prisms.png UC41-6 decagrammic prisms.png UC42-3 square antiprisms.png UC43-6 square antiprisms.png
UC44-6 pentagrammic antiprisms.png UC45-12 pentagrammic antiprisms.png
  • 46-67: Simetría tetraédrica embebida en simetría octaédrica o icosaédrica,
UC46-2 icosahedra.png UC47-5 icosahedra.png UC48-2 great dodecahedra.png UC49-5 great dodecahedra.png UC50-2 small stellated dodecahedra.png UC51-5 small stellated dodecahedra.png
UC52-2 great icosahedra.png UC53-5 great icosahedra.png UC54-2 truncated tetrahedra.png UC55-5 truncated tetrahedra.png UC56-10 truncated tetrahedra.png UC57-5 truncated cubes.png
UC58-5 quasitruncated hexahedra.png UC59-5 cuboctahedra.png UC60-5 cubohemioctahedra.png UC61-5 octahemioctahedra.png UC62-5 rhombicuboctahedra.png UC63-5 small rhombihexahedra.png
UC64-5 small cubicuboctahedra.png UC65-5 great cubicuboctahedra.png UC66-5 great rhombihexahedra.png UC67-5 great rhombicuboctahedra.png
  • 68-75: Pares enantiomórficos,
UC68-2 snub cubes.png UC69-2 snub dodecahedra.png UC70-2 great snub icosidodecahedra.png UC71-2 great inverted snub icosidodecahedra.png UC72-2 great retrosnub icosidodecahedra.png UC73-2 snub dodecadodecahedra.png
UC74-2 inverted snub dodecadodecahedra.png UC75-2 snub icosidodecadodecahedra.png

Otros compuestos poliédricos[editar]

Compound of 4 cubes.png Compound of 4 octahedra.png
Estos compuestos, de cuatro cubos, y cuatro octaedros (duales), no son compuestos regulares, ni duales, ni uniformes.
  • Compuesto de tres octaedros
  • Compuesto de cuatro cubos

Dos poliedros que son compuestos pero que tienen sus elementos rígidamente ligados a su emplazamiento son el pequeño icosidodecaedro complejo (compuesto de icosaedro y de gran dodecaedro) y el gran icosidodecaedro complejo (compuesto del pequeño dodecaedro estrellado y del gran icosaedro). Si se generaliza la definición de poliedro uniforme, entonces se pueden considerar uniformes.

La sección de pares entianomórficos en la lista de Skilling no contiene el compuesto de dos grandes dodecicosidodecaedros erizados, en el que las caras pentagrámicas coincidirían. Eliminando las caras coincidentes se obtiene el compuesto de veinte octaedros.

Compuestos de 4-politopos[editar]

Proyecciones ortogonales
Regular compound 75 tesseracts.png Regular compound 75 16-cells.png
75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

En 4 dimensiones, existe un gran número de compuestos regulares de politopos regulares. Coxeter lista unos cuantos de ellos en su libro "Regular Polytopes":[2]

Auto-duales:

Compuesto Simetría
120 5-celda [5,3,3], orden 14400
5 24-celda [5,3,3], orden 14400

Pares duales:

Compuesto 1 Compuesto 2 Simetría
3 16-celdas[3] 3 teseractos [3,4,3], orden 1152
15 16-celdas 15 teseractos [5,3,3], orden 14400
75 16-celdas 75 teseractos [5,3,3], orden 14400
300 16-celdas 300 teseractos [5,3,3]+, orden 7200
600 16-celdas 600 teseractos [5,3,3], orden 14400
25 24-celdas 25 24-celdas [5,3,3], orden 14400

Compuestos uniformes y duales con 4-politopos convexos:

Compuesto 1 Vértice-transitivo Compuesto 2 Celda-transitivo Simetría
2 16-celdas[4] 2 teseractos [4,3,3], orden 384
100 24-celdas 100 24-celdas [5,3,3]+, orden 7200
200 24-celdas 200 24-celdas [5,3,3], orden 14400
5 600-celdas 5 120-celdas [5,3,3]+, orden 7200
10 600-celdas 10 120-celdas [5,3,3], orden 14400

Posiciones duales:

Compuesto Simetría
2 5-celdas

{{3,3,3}}

[[3,3,3]], orden 240
2 24-celdas

{{3,4,3}}[5]

[[3,4,3]], orden 2304

Compuestos con 4-politopos regulares estrellados[editar]

Compuestos auto-duales estrellados:

Compuesto Simetría
5 {5,5/2,5} [5,3,3]+, orden 7200
10 {5,5/2,5} [5,3,3], orden 14400
5 {5/2,5,5/2} [5,3,3]+, orden 7200
10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], orden 14400

Pares duales de compuestos estrellados:

Compuesto 1 Compuesto 2 Simetría
5 {3,5,5/2} 5 {5/2,5,3} [5,3,3]+, orden 7200
10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3} [5,3,3], orden 14400
5 {5,5/2,3} 5 {3,5/2,5} [5,3,3]+, orden 7200
10 {5,5/2,3} 10 {3,5/2,5} [5,3,3], orden 14400
5 {5/2,3,5} 5 {5,3,5/2} [5,3,3]+, orden 7200
10 {5/2,3,5} 10 {5,3,5/2} [5,3,3], orden 14400

Compuestos uniformes estrellados y duales:

Compuesto 1 Vértice-transitivo
Compuesto 2 Celda-transitivo
Simetría
5 {3,3,5/2} 5 {5/2,3,3} [5,3,3]+, orden 7200
10 {3,3,5/2} 10 {5/2,3,3} [5,3,3], orden 14400

Teoría de grupos[editar]

En términos de la teoría de grupos, si G es el grupo de simetría de un compuesto poliédrico, y las operaciones del grupo actúan transitivamente sobre el poliedro (de modo que cada poliedro puede ocupar la posición de cualquiera de los otros, como en los compuestos uniformes), entonces si H es una operación sobre un solo poliedro determinado, el poliedro puede ser identificado con la órbita espacial G/H – el conjunto asociado gH corresponde a cada poliedro g con el que puede coincidir el poliedro dado.

Compuestos de teselados[editar]

Existen dieciocho familias de dos parámetros de compuestos regulares que teselan el plano euclidiano. En el plano hiperbólico, se conocen cinco familias de un parámetro y diecisiete casos aislados, pero aquí no se enumera este listado completo.

Las familias compuestas euclidiana e hiperbólica 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, siendo p un entero) son análogas a la estrella octángula esférica, 2 {3,3}.

Unos cuantos ejemplos de compuestos regulares euclidianos e hiperbólicos
Auto-dual Duales Auto-dual
2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}
Kah 4 4.png Compound 2 hexagonal tilings.png Compound 2 triangular tilings.png Infinite-order apeirogonal tiling and dual.png
3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}
Compound 3 hexagonal tilings.png Compound 3 triangular tilings.png Iii symmetry 000.png

Un ejemplo conocido de retículos euclidianos compuestos regulares en cinco o más dimensiones es la familia infinita de compuestos de teselados hipercúbicos, con todos sus elementos compartiendo vértices y caras con otros teselados hipercúbicos. Este compuesto puede contener cualquier número de teselados hipercúbicos.

También existen teselados compuestos dual-regulares. Un ejemplo sencillo es el compuesto E2 de un teselado hexagonal y su dual, el teselado triangular. Los compuestos euclidianos de dos teselados hipercúbicos son ambos regulares y duales-regulares.

Referencias[editar]

  1. Uniform Compounds
  2. Regular polytopes, Table VII, p. 305
  3. Klitzing, Richard. «Uniform compound stellated icositetrachoron». 
  4. Klitzing, Richard. «Uniform compound demidistesseract». 
  5. Klitzing, Richard. «Uniform compound Dual positioned 24-cells». 

Enlaces externos[editar]

Bibliografía[editar]

  • Skilling, John (1976), «Uniform Compounds of Uniform Polyhedra», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 79: 447-457, ISBN 0521664055, doi:10.1017/S0305004100052440 .
  • Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge, ISBN 9780521664059 .
  • Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 51-53, ISBN 9780521245241 .
  • Harman, Michael G. (1974), Polyhedral Compounds, unpublished manuscript .
  • Hess, Edmund (1876), «Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder», Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg 11: 5-97 .
  • Pacioli, Luca (1509), De Divina Proportione .
  • Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
  • Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.  p. 87 Five regular compounds