Poliominó

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Existen 12 pentominós, de los cuales hay 6 pares especulares .

Un poliminó o poliominó es un objeto geométrico obtenido al unir varios cuadrados o celdas del mismo tamaño de forma que cada par de celdas vecinas compartan un lado. Los poliominós son, por tanto, un caso especial de poliformas.

El término poliominó (inglés: polyomino) se origina en una plática de Solomon Golomb para el Harvard Mathematics Club en 1953, misma que fue publicada posteriormente en el American Mathematical Monthly y en el ejemplar de mayo de 1957 de Scientific American.[1]

Los poliominós son una generalización de la forma de un dominó, consistente en dos cuadrados unidos por un lado (sin prestar atención al contenido de los mismos).

Nomenclatura[editar]

Un heptominó (7 celdas) con agujero.

Existen diferentes traducciones para los nombres de los diferentes poliminós, aunque a grandes rasgos todos ellos son derivados del prefijo griego correspondiente al número de celdas que forman la figura.

número de piezas: 1 2 3 4 5 6 7 arbitrario
nombre: monominó dominó trominó tetrominó pentominó hexominó heptominó poliominó

Por ejemplo, el prefijo griego que indica el número tres es tri-, por lo que las poliminós obtenidos al unir tres celdas se llaman trominós (inglés: trominoes), siguiendo la sustitución del prefijo di- por do- en el nombre de los dominós (inglés: dominoes).

No es infrecuente encontrar en la literatura variantes de estos nombres, siendo la más común el uso del prefijo griego sin cambio. Por ejemplo, un poliminó de 5 cuadrados puede aparecer como pentominó[2] [3] pero también como pentaminó.[4] Una nomenclatura alternativa aparece en la siguiente tabla.

número de piezas: 1 2 3 4 5 6 7 arbitrario
nombre: monominó dominó triminó tetraminó pentaminó hexaminó heptaminó poliominó

Sin embargo, en ocasiones es posible encontrar otras variantes. Por ejemplo un trominó[5] es nombrado en ocasiones como triominó.[6]

Enumeración de poliominós[editar]

Todos estos poliominós tienen la misma forma pues cualquier par se puede hacer corresponder mediante una rotación o una reflexión.

Se desconoce aún una fórmula que determine el número de poliominós (es decir, de formas diferentes) con una cantidad determinada de celdas.

Al numerar poliminós se suelen considerar como de una misma forma aquellos poliominós obtenidos mediante rotaciones o simetrías. Adicionalmente, se consideran diferentes subclases de poliominós:

  • Poliominós libres: Son aquellos que no tienen restricción alguna, excepto considerar como iguales aquellas formas obtenidas mediante reflexión o rotación.
  • Poliominós (libres) sin agujeros: Cuando el número de celdas incrementa, es posible que aparezcan poliominós con agujeros. Esta clase de poliominós son aquellos donde las formas con agujeros no son permitidas.
  • Poliominós unilaterales: A diferencia de los poliominós libres, aquí sólo se consideran iguales formas obtenidas mediante rotación pero no mediante reflexión. Por ejemplo en la figura anterior, los cuatro poliominós de la derecha son diferentes a los cuatro de la izquierda si se consideran como poliominós unilaterales.
n nombre libres (sucesión A000105 en OEIS) libre con agujeros (A001419) libre sin agujeros (A000104) unilaterales (A000988) fijos (A_nA001168)
1 monominó 1 0 1 1 1
2 dominó 1 0 1 1 2
3 trominó o triomino 2 0 2 2 6
4 tetrominó 5 0 5 7 19
5 pentominó 12 0 12 18 63
6 hexominó 35 0 35 60 216
7 heptominó 108 1 107 196 760
8 octominó 369 6 363 704 2,725
9 nonominó o enneominó 1,285 37 1,248 2,500 9,910
10 decominó 4,655 195 4,460 9,189 36,446
11 undecominó 17,073 979 16,094 33,896 135,268
12 dodecominó 63,600 4,663 58,937 126,759 505,861

Referencias[editar]

  1. Golomb, Solomon W. (1965). Polyominoes (en inglés) (1a edición). New York: Charles Scribner's Sons. p. 13. OCLC 982644. LOC 64-24805. 
  2. Joaquín García Mollá (22 de septiembre de 2008). «Pentominos». Consultado el 4 de julio de 2010.
  3. Recursos didácticos del proyecto CICA Thales. «Pentominós». Consultado el 4 de julio de 2010.
  4. Mates y + (24 de febrero de 2008). «Construyendo figuras con pentaminós». Consultado el 4 de julio de 2010.
  5. Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas (en español). Traducción al español de la 6a edición en inglés. México: Prentice Hall Hispanoamericana. p. 58. Consultado el 4 de julio de 2010. 
  6. Johnsonbaugh, Richard (1999). Matemáticas Discretas (en español). Traducción al español de la 4a edición en inglés. México: Prentice Hall Hispanoamericana. p. 51. ISBN 9701702530. Consultado el 28 de junio de 2010.