Polígono

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Algunos ejemplos de polígonos.

En geometría, un polígono es una figura geométrica plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que encierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El polígono es el caso bidimensional del politopo.

Etimología[editar]

La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’,[1][2][3]​ aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados.

La noción geométrica elemental ha sido adaptada de distintas maneras para servir a propósitos específicos. A los matemáticos a menudo les interesan sólo las líneas poligonales cerradas y los polígonos simples (aquellos en los cuales sus lados sólo se intersecan en los vértices), y pueden definir un polígono de acuerdo a ello. Es requisito geométrico que dos lados que se intersecan en un vértice formen un ángulo no llano (distinto a 180°), ya que de otra manera los segmentos se considerarían partes de un único lado; sin embargo, esos vértices podrían permitirse algunas veces por cuestiones prácticas. En el ámbito de la computación, la definición de polígono ha sido ligeramente alterada debido a la manera en que las figuras son almacenadas y manipuladas en la computación gráfica para la generación de imágenes.

Definición[editar]

La definición del polígono depende del uso que se le quiera dar, así por ejemplo para hacer referencia a una región del plano se tiene:

  • Llamaremos polígono a la porción del plano delimitada y encerrada por una línea poligonal.[4]

Para hacer referencia al estudio euclidiano de las longitudes de los lados de un polígono, se tiene:

  • Llamaremos polígono a una figura geométrica plana definida por una línea poligonal de la cual sus dos extremos coinciden.

Para desarrollar un concepto didáctico del polígono, se tiene:

  • Llamaremos polígono al conjunto de puntos y segmentos que unen sucesivamente dichos puntos.

En esta última definición se suele evitar los puntos consecutivos alineados.

Línea poligonal[editar]

Se denomina línea poligonal o línea quebrada al conjunto de segmentos, , unidos sucesivamente por sus extremos donde el extremo de cada uno es origen del siguiente, tal que dos segmentos sucesivos no están alineados, en tal caso se considera ambos como un único segmento.[4]

Línea poligonal .

Sean y los extremos de , entonces:

  • Si los dos extremos libres, y , no coinciden se dice que la línea poligonal es abierta.[4]
  • Diremos que la línea poligonal es cerrada si no es abierta.[4]

Ejemplo de una línea poligonal de seis segmentos:

Poligonal.svg

Véase también

La definición y su aplicación del concepto de Grafo de la teoría de grafos.

La definición de símplex usada en topología algebraica.

Propiedades[editar]

  • Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono.
  • Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la línea poligonal (frontera) ni en el interior.[5]

Elementos de un polígono[editar]

Plantilla00.svg

En un polígono se distinguen los siguientes elementos geométricos:

  • Lados del polígono: son cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
  • Vértices de un polígono: son los puntos de intersección o puntos de unión entre lados consecutivos.
  • Diagonales del polígono: son segmentos que une dos vértices, no consecutivos, del polígono.
  • Ángulo interior del polígono: es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
  • Ángulo exterior del polígono: es el ángulo formado, externamente al polígono, por uno de sus lados y la prolongación del lado consecutivo.
  • Ángulo entrantes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden más de 180º.[6]
  • Ángulo salientes del polígono: es el ángulo interior al polígono que miden menos de 180º.[7]
Hexágono regular.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

  • Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.
  • Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.
  • Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.
  • Diagonal (): son los segmentos que unen los vértices del polígono no consecutivamente.

Formulario[editar]

, en un polígono de lados.
Las diagonales por cada vértice son

Los vértices son

Como cada diagonal está contada dos veces se tiene que el número de diagonales sale de:

  • Intersecciones de diagonales , en un polígono de vértices.
  • Todo polígono regular de n lados, puede ser descompuesto en un conjunto ordenado de n-2 triángulos, con un vértice común y la suma de las áreas de los triángulos sea igual al área del polígono.

Clasificación[editar]

Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una clasificación basada en su número de lados, vea la tabla inferior.

Clasificación de los polígonos según su contorno[editar]

Algunos ejemplos de varios tipos de polígono.
Clasificación de los polígonos según la forma de su contorno.
Polígonos

Simples
Convexos

Regulares



Irregulares




Cóncavos





Complejos



Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.

  • Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
  • Complejo o Cruzado, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.[8]
  • Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos, menores que 180º es convexo.
  • No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
  • Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
  • Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
  • Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
  • Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
  • Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
  • Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
  • Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos o .[9]
  • Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
  • Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
  • Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).
  • Monótono, si existe alguna dirección del plano en la cual todos los cortes del polígono en esa dirección consisten en un punto o un segmento.

Nombres de polígonos según su número de lados[editar]

Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres más comunes están en la siguiente tabla:

Clasificación de polígonos
según el número de lados
Nombre n.º lados
trígono o triángulo 3
tetrágono, cuadrángulo o cuadrilátero 4
pentágono 5
hexágono 6
heptágono 7
octógono u octágono 8
eneágono o nonágono 9
decágono 10
endecágono o undecágono 11
dodecágono 12
tridecágono 13
tetradecágono 14
pentadecágono o pentedecágono 15
hexadecágono 16
heptadecágono 17
octodecágono u octadecágono 18
eneadecágono o nonadecágono 19
isodecágono o icoságono 20
icosakaidígono 22
triacontágono 30
tetracontágono 40
pentacontágono 50
hexacontágono 60
heptacontágono 70
octocontágono u octacontágono 80
eneacontágono o nonacontágono 90
hectágono 100
chiliágono 1000
miriágono 10000
decemiriágono 100000
hectamiriágono o megágono 1000000
apeirógono

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Polígono». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  2. Gran Larousse Universal. 
  3. «-Gono». Diccionario Etimológico de los sufijos españoles. 
  4. a b c d Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  5. Keedy, Nelson: "Geometría", cooperación de Alianza para el Progreso.
  6. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Ángulo entrante». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  7. Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española (2014). «Ángulo saliente». Diccionario de la lengua española (23.ª edición). Madrid: Espasa. ISBN 978-84-670-4189-7. 
  8. Diccionario de las matemáticas ISBN 84-8055-355-3
  9. Bassam Al-Zarif Zabala. «Definiciones básicas empleadas». Iluminación de polígonos con reflectores. Consultado el 3 de octubre de 2012. 

Enlaces externos[editar]