Poliedro uniforme estrellado

Una exposición de poliedros uniformes en el Museo de Ciencias de Londres

El pequeño icosicosidodecaedro romo es un poliedro uniforme estrellado, con figura de vértice 3⁵.⁵/₂

En la geometría, un poliedro uniforme estrellado es un poliedro uniforme autointersecado. A veces también se les llama poliedros uniformes no convexos. Pueden estar formado ya sea por polígonos no convexos, por figuras de vértice no convexas o por ambas.

El conjunto completo de los 57 poliedros uniformes estrellados no prismáticos incluye las 4 figuras regulares, llamadas sólidos de Kepler-Poinsot, 5 figuras cuasiregulares, y 48 figuras semiregulares.

Existen también dos conjuntos infinitos de prismas estrellados uniformes y antiprismas estrellados uniformes.

De la misma forma que los polígonos estrellados (no degenerados), con densidad mayor a 1, corresponden a polígonos circulares con partes sobrepuestas, los poliedros estrellados que no pasan por su centro tienen densidad mayor a 1, y corresponden a poliedros esféricos con partes sobrepuestas; hay 47 tales poliedros uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros uniformes no prismáticos restantes, aquellos que pasan por el centro, son los hemipoliedros junto con el Monstruo de Miller, y no tienen densidades bien definidas.

Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz.

Todos los poliedros uniformes están enlistados abajo por sus grupos de simetría, y subdivididos por sus disposiciones de vértices.

Los poliedros regulares se etiquetan por su Símbolo de Schläfli. Los demás poliedros uniformes no regulares están listados junto con su figura de vértice.

Nota: Para las formas no convexas siguientes, un descriptor adicional no uniforme se utiliza cuando la disposición de vértices de la envolvente convexa tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme podría tener rectángulos creados en el lugar de las aristas, en vez de cuadrados.

Simetría diedral

Véase: Poliedro prismático uniforme

Simetría tetraédrica

Triángulos (3 3 2) en la esfera

Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).

Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes estrellados únicos: un triángulo rectángulo (³⁄₂ 3 3) y un triángulo general (³⁄₂ 3 3). El triángulo general (³⁄₂ 3 3) genera el octahemioctaedro, el cual se encuentra más adelante debido a su simetría octaédrica completa.

Configuración de vértices (Envolvente convexa)	Formas no convexas
Tetraedro
Tetraedro rectificado Octaedro	4.3⁄2.4.3 3⁄2 3 | 2
Tetraedro truncado
Tetraedro cantelado (Cuboctaedro)
Tetraedro omnitruncado (Octaedro truncado)
Tetraedro romo (Icosaedro)

Simetría octaédrica

Triángulos (4 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).

Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos (³⁄₂ 4 2) y (⁴⁄₃ 3 2), y dos triángulos generales (⁴⁄₃ 4 3), (³⁄₂ 4 4).

Configuración de vértices (Envolvente convexa)	Formas no convexas
Cubo
Octaedro
Cuboctaedro	6.4⁄3.6.4 4⁄3 4 | 3	6.3⁄2.6.3 3⁄2 3 | 3
Cubo truncado	4.8⁄3.4⁄3.8⁄5 2 4⁄3 (3⁄2 4⁄2) |	8⁄3.3.8⁄3.4 3 4 | 4⁄3	4.3⁄2.4.4 3⁄2 4 | 2
Octaedro truncado
Rombicuboctaedro	4.8.4⁄3.8 2 4 (3⁄2 4⁄2) |	8.3⁄2.8.4 3⁄2 4 | 4	8⁄3.8⁄3.3 2 3 | 4⁄3
Cuboctaedro truncado no uniforme	4.6.8⁄3 2 3 4⁄3 |
Cuboctaedro truncado no uniforme	8⁄3.6.8 3 4 4⁄3 |
Cubo romo

Simetría icosaédrica

Triángulos (5 3 2) en la esfera

Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental de triángulo de Möbius (5 3 2)), o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling. Algunas de las formas romas no convexas tienen simetría reflexional en los vértices.

Configuración de vértices (Envolvente convexa)	Formas no convexas
Icosaedro	{5,5⁄2}	{5⁄2,5}	{3,5⁄2}
Icosaedro truncado no uniforme	10.10.5⁄2 2 5⁄2 | 5	3.10⁄3.5⁄2.10⁄7 5⁄2 3 | 5⁄3	3.4.5⁄3.4 5⁄3 3 | 2	4.10⁄3.4⁄3.10⁄7 2 5⁄3 (3/2 5⁄4) |
Icosaedro truncado no uniforme	4.5⁄2.4.5 5⁄2 5 | 2	5.6.5⁄3.6 5⁄3 5 | 3	4.6.4⁄3.6⁄5 2 3 (5⁄4 5⁄2) |
Icosaedro truncado no uniforme	35.5⁄2 | 5⁄2 3 3
Icosidodecaedro	3.10.3⁄2.10	5.10.5⁄4.10	3.5⁄2.3.5⁄2 2 | 3 5⁄2	5⁄2.10⁄3.5⁄3.10⁄3 5⁄3 5⁄2 | 5⁄3	3.10⁄3.3⁄2.10⁄3 3 3 | 5⁄3	5.5⁄2.5.5⁄2 2 | 5 5⁄2	6.5⁄2.6.5⁄3 5⁄3 5⁄2 | 3	5.6.5⁄4.6 5⁄4 5 | 3
Dodecaedro truncado no uniforme	3.10⁄3.5.10⁄3 3 5 | 5⁄3	5.6.3⁄2.6 3⁄2 5 | 3	6.10⁄3.6⁄5.10⁄7 3 5⁄3 (3⁄2 5⁄2) |
Dodecaedro truncado no uniforme	(35.5⁄3)/2 | 3⁄2 3⁄2 5⁄2
Dodecaedro	{5⁄2,3}	(3.5⁄2)3 3 | 5⁄2 3	(5.5⁄3)3 3 | 5⁄3 5	(3.5)3/2 3⁄2 | 3 5
Pequeño rombicosidodecaedro	5.10.3⁄2.10 3⁄2 5 | 5	4.10.4⁄3.10⁄9 2 5 3⁄2 5⁄2) |	5.10⁄3.10⁄3 2 5 | 5⁄3
Rombicosidodecaedro no uniforme	6.6.5⁄2 2 5⁄2 | 3
Rombicosidodecaedro no uniforme	6.5⁄2.6.3 5⁄2 3 | 3	3.10.5⁄3.10 5⁄3 3 | 5	6.10.6⁄5.10⁄9 3 5 (3⁄2 5⁄4) |	3.10⁄3.10⁄3 2 3 | 5⁄3
Rombicosidodecaedro no uniforme	4.5⁄3.4.3.4.5⁄2.4.3⁄2 | 3⁄2 5⁄3 3 5⁄2	3.3.3.5⁄2.3.5⁄3 | 5⁄3 5⁄2 3	Figura de Skilling (ver abajo)
Icosidodecaedro truncado no uniforme	6.10.10⁄3 3 5 5⁄3 |
Dodecadodecaedro truncado no uniforme	4.10⁄9.10⁄3 2 5 5⁄3 |
Icosidodecaedro truncado no uniforme	4.6.10⁄3 2 3 5⁄3 |
Dodecaedro romo no uniforme	3.3.5⁄2.3.5 | 2 5⁄2 5	3.3.3.5.3.5⁄3 | 5⁄3 3 5	34.5⁄2 | 2 5⁄2 3	34.5⁄3 | 5⁄3 2 3	3.3.5.3.5⁄3 | 5⁄3 2 5	(34.5⁄2)/2 | 3⁄2 5⁄3 2

Casos degenerados

Coxeter identificó un número de poliedros estrellados degenerados creados por el método de construcción de Wythoff, que contienen aristas o vértices sobrepuestos. Estas formas degeneradas incluyen las siguientes:

• Pequeño icosidodecaedro complejo
• Gran icosidodecaedro complejo
• Pequeño rombicosidodecaedro complejo
• Gran rombicosidodecaedro complejo
• Rombidodecadodecaedro complejo

Figura de Skilling

Un último poliedro no convexo degenerado es el gran dirrombidodecaedro birromo, también conocido como la Figura de Skilling, la cual es de vértices uniformes, pero tiene parejas de aristas coincidiendo en el espacio, de manera que cuatro caras se unen en algunas aristas. Debido a esta propiedad, se considera un poliedro uniforme degenerado. Tiene simetría I_h.

Véase también

• Polígono estrellado
• Lista de poliedros uniformes
• Lista de poliedros uniformes por triángulo de Schwarz

Referencias

• Coxeter, H. S. M. (13 de mayo de 1954). «Uniform Polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences 246 (916): 401-450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9. OCLC 1738087. 
• Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
• Sopov, S. P. (1970), «A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra», Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139-156, MR 0326550 .
• Skilling, J. (1975), «The complete set of uniform polyhedra», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 278: 111-135, ISSN 0080-4614, JSTOR 74475, MR 0365333, doi:10.1098/rsta.1975.0022 .
• Har'El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El, Kaleido software, Images, dual images
• Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
• Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals., Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).
• Klitzing, Richard. «3D uniform polyhedra». 

Enlaces externos

• Esta obra contiene una traducción derivada de «Uniform star polyhedron» de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
• Weisstein, Eric W. «Uniform Polyhedron». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q2878957