Poliedro esférico

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El poliedro esférico más familiar es el balón de fútbol, obtenido a partir de un icosaedro truncado
Este balón de playa sería un hosoedro con 6 caras en forma de lunas esféricas si se quitaran las 2 tapas blancas de los extremos

En matemáticas, un poliedro esférico o teselado esférico, es un enlosado de una esfera en el que la superficie está dividida o seccionada por curvas en regiones delimitadas llamadas polígonos esféricos. Gran parte de la teoría de poliedros simétricos se deduce consistentemente de esta manera.

El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol, considerado un icosaedro truncado esférico. El siguiente poliedro esférico más popular es el balón de playa, considerado como un hosoedro.

Algunos poliedros "impropios", como los hosoedros y sus duales (diedros), existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son elementos degenerados. La pelota de playa hexagonal de la imagen, {2, 6}, es un hosoedro, y el diedro {6, 2} es su poliedro dual.

Historia[editar]

Los primeros poliedros artificiales conocidos son los poliedros esféricos labrados en piedra. Se han encontrado muchos en Escocia y parecen datar del período neolítico.

Durante el siglo X, el erudito islámico Abu'l-Wafa escribió el primer estudio riguroso sobre poliedros esféricos.

A principios del siglo XIX, el matemático francés Louis Poinsot utilizó poliedros esféricos para descubrir los cuatro poliedros estrellados regulares.

A mediados del siglo XX, Coxeter los utilizó para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes, mediante la construcción de caleidoscópica (construcción de Wythoff).

Ejemplos[editar]

Todo poliedro regular, poliedro semirregular y sus duales se pueden proyectar sobre la esfera como teselaciones:

Símbolo de
Schläfli 		{p,q} t{p,q} r{p,q} t{q,p} {q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Configuración
de vértices 		pq q.2p.2p p.q.p.q p.2q.2q qp q.4.p.4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Simetría
tetraédrica
(3 3 2) 		Uniform tiling 332-t0-1-.png
33 		Uniform tiling 332-t01-1-.png
3.6.6 		Uniform tiling 332-t1-1-.png
3.3.3.3 		Uniform tiling 332-t12.png
3.6.6 		Uniform tiling 332-t2.png
33 		Uniform tiling 332-t02.png
3.4.3.4 		Uniform tiling 332-t012.png
4.6.6 		Spherical snub tetrahedron.png
3.3.3.3.3
Spherical triakis tetrahedron.png
V3.6.6 		Spherical dual octahedron.png
V3.3.3.3 		Spherical triakis tetrahedron.png
V3.6.6 		Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4 		Spherical tetrakis hexahedron.png
V4.6.6 		Uniform tiling 532-t0.png
V3.3.3.3.3
Simetría
octaédrica
(4 3 2) 		Uniform tiling 432-t0.png
43 		Uniform tiling 432-t01.png
3.8.8 		Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4 		Uniform tiling 432-t12.png
4.6.6 		Uniform tiling 432-t2.png
34 		Uniform tiling 432-t02.png
3.4.4.4 		Uniform tiling 432-t012.png
4.6.8 		Spherical snub cube.png
3.3.3.3.4
Spherical triakis octahedron.png
V3.8.8 		Spherical rhombic dodecahedron.png
V3.4.3.4 		Spherical tetrakis hexahedron.png
V4.6.6 		Spherical deltoidal icositetrahedron.png
V3.4.4.4 		Spherical disdyakis dodecahedron.png
V4.6.8 		Spherical pentagonal icositetrahedron.png
V3.3.3.3.4
Simetría
icosaédrica
(5 3 2) 		Uniform tiling 532-t0.png
53 		Uniform tiling 532-t01.png
3.10.10 		Uniform tiling 532-t1.png
3.5.3.5 		Uniform tiling 532-t12.png
5.6.6 		Uniform tiling 532-t2.png
35 		Uniform tiling 532-t02.png
3.4.5.4 		Uniform tiling 532-t012.png
4.6.10 		Spherical snub dodecahedron.png
3.3.3.3.5
Spherical triakis icosahedron.png
V3.10.10 		Spherical rhombic triacontahedron.png
V3.5.3.5 		Spherical pentakis dodecahedron.png
V5.6.6 		Spherical deltoidal hexecontahedron.png
V3.4.5.4 		Spherical disdyakis triacontahedron.png
V4.6.10 		Spherical pentagonal hexecontahedron.png
V3.3.3.3.5
Dihedral
example p=6
(2 2 6) 		Hexagonal dihedron.png
62 		Dodecagonal dihedron.png
2.12.12 		Hexagonal dihedron.png
2.6.2.6 		Spherical hexagonal prism.png
6.4.4 		Hexagonal Hosohedron.svg
26 		Spherical truncated trigonal prism.png
2.4.6.4 		Spherical truncated hexagonal prism.png
4.4.12 		Spherical hexagonal antiprism.png
3.3.3.6
Teselado de la esfera mediante triángulos esféricos (icosaedro con algunos de sus triángulos esféricos distorsionados)
n 2 3 4 5 6 7 8 10 ...
n-prisma
(2 2 p) 		Tetragonal dihedron.png Spherical triangular prism.png Spherical square prism2.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism2.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism2.png Spherical decagonal prism2.png ...
n-bipirámide
(2 2 p) 		Spherical digonal bipyramid2.svg Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid2.svg Spherical pentagonal bipyramid.svg Spherical hexagonal bipyramid2.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid2.png Spherical decagonal bipyramid2.png ...
n-antiprisma Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png ...
n-trapezoedro Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal trapezohedron.png Spherical tetragonal trapezohedron.png Spherical pentagonal trapezohedron.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical heptagonal trapezohedron.png Spherical octagonal trapezohedron.png Spherical decagonal trapezohedron.png ...

Casos impropios[editar]

Los teselados esféricos permiten casos que los poliedros no, a saber, como los hosoedros (con códigos de Schläfli del tipo {2, n}) y los diedros (con códigos de Schläfli del tipo {n, 2}). Generalmente, se utilizan hosoedros regulares y diedros regulares.

Familia de hosoedros regulares · * n22 mutaciones de simetría de teselados de hosoedros regulares: nn
Espacio Esférico Euclídeo
Nombre del teselado (Monogonal)
Monógono 		Hosohedro digonal (Triangular)
Hosohedro trigonal 		(Tetragonal)
Hosohedro cuadrado 		Hosohedro pentagonal Hosoedro hexagonal Hosoedro heptagonal Hosoedro octogonal Hosoedro eneagonal Hosoedro decagonal Hosoedro hendecagonal Hosoedro dodecagonal ... Hosoedro apeirogonal
Imagen del teselado Spherical henagonal hosohedron.png Spherical digonal hosohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical square hosohedron.png Spherical pentagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical heptagonal hosohedron.png Spherical octagonal hosohedron.png Spherical enneagonal hosohedron.png Spherical decagonal hosohedron.png Spherical hendecagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png ... Apeirogonal hosohedron.svg
Símbolo de Schläfli {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} {2,7} {2,8} {2,9} {2,10} {2,11} {2,12} ... {2,∞}
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 12.pngCDel node.png ... CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Caras y aristas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ∞
Vértices 2 ... 2
Configuración de vértices 2 2.2 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 ... 2∞
Familia de diedros regulares · *n22 mutaciones de simetría de teselados diedros regulares: nn
Espacio Esférico Euclídeo
Nombre del teselado (Hengonal)
Monógono 		Diedro (Triangular)
Diedro 		(Tetragonal)
Diedro cuadrado 		Diedro Diedro ... Diedro apeirogonal
Imagen del teselado Monogonal dihedron.svg Digonal dihedron.svg Trigonal dihedron.svg Tetragonal dihedron.svg Pentagonal dihedron.svg Hexagonal dihedron.svg ... Apeirogonal tiling.svg
Símbolo de Schläfli {1,2} {2,2} {3,2} {4,2} {5,2} {6,2} ... {∞,2}
Diagrama de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 1x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png ... CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Caras 2 {1} 2 {2} 2 {3} 2 {4} 2 {5} 2 {6} ... 2 {∞}
Aristas y vértices 1 2 3 4 5 6 ... ∞
Configuración de vértices 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 ... ∞.∞

Relación con las teselaciones del plano proyectivo[editar]

Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversiva están relacionados con los poliedros proyectivos[1]​ (teselados del plano proyectivo real) - así como la esfera tiene un espacio recubridor 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos corresponden respecto al doble recubrimiento a los poliedros esféricos que son simétricos bajo simetría central.

Los ejemplos más conocidos de estos poliedros son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos con simetría central, así como dos clases infinitas de diedros y hosoedros:[2]​

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. ↑ McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). «6C. Projective Regular Polytopes». Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. pp. 162–5. ISBN 0-521-81496-0. 
  2. ↑ Coxeter, H.S.M. (1969). «§21.3 Regular maps'». Introduction to Geometry (2nd edición). Wiley. pp. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. MR 123930. 

Lecturas relacionadas[editar]

Enlaces externos[editar]

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