Paradoja del cuadrado perdido

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Animación de la paradoja del cuadrado perdido.

La paradoja del cuadrado perdido es una ilusión óptica usada en clases de matemáticas, para ayudar a los estudiantes a razonar sobre las figuras geométricas.

Está compuesta de cuatro piezas de Rompecabezas que pueden forman dos triángulos de base 13 y altura 5, formados por las mismas piezas, en uno aparenta tener un "agujero" de un cuadrado de un de lado.

Paradoja del cuadrado perdido 01.svg Paradoja del cuadrado perdido 02.svg

Las piezas[editar]

Las cuatro piezas que forman el rompecabezas tienen una forma tamaño y superficie concreta. El área de cada pieza es:

La pieza roja[editar]

Paradoja del cuadrado perdido 06.svg

La pieza roja es un triángulo rectángulo de base 8 y altura 3 y, por tanto, su área es:


   A_{ro} =
   \cfrac{8 \cdot 3}{2}
   = 12


La pieza azul[editar]

Paradoja del cuadrado perdido 07.svg

La pieza azul es también un triángulo rectángulo, de base 5 y altura 2 y, por tanto, su área es de:


   A_{az} =
   \cfrac{5 \cdot 2}{2}
   = 5


La pieza verde[editar]

Paradoja del cuadrado perdido 08.svg

La pieza verde es un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 2 por 1, su área es:


   A_{ve} =
   5 \cdot 2 - 2 \cdot 1 =
   8


La pieza amarilla[editar]

Paradoja del cuadrado perdido 09.svg

La pieza amarilla es, también, un rectángulo de base 5 y altura 2 al que le falta un rectángulo de 3 por 1, su área es:


   A_{am} =
   5 \cdot 2 - 3 \cdot 1 =
   7


La paradoja[editar]

Las cuatro figuras (amarilla, roja, azul y verde) ocupan un total de:


   \begin{array}{lcr}
      A_{ro} & = & 12 \\
      A_{az} & = &  5 \\
      A_{ve} & = &  8 \\
      A_{am} & = &  7 \\
      \hline
      total  & = & 32
   \end{array}
Paradoja del cuadrado perdido 05.svg

pero el triángulo tiene 13 de base por 5 de altura (a derecha en lila), lo que supone un área de:


   A_{T} =
   \cfrac{13 \cdot 5}{2} =
   32,5

La paradoja tiene una explicación simple: la figura presentada como un triángulo no lo es en realidad, debido a que tiene cuatro lados, y no los tres propios del triángulo. La "hipotenusa" no está formada por una recta, sino por dos con pendientes ligeramente distintas.

Paradoja del cuadrado perdido 03.svg Paradoja del cuadrado perdido 04.svg
Pasa por los puntos no alineados (0,0) (8,3) y (13,5). Pasa por los puntos no alineados (0,0) (5,2) y (13,5).
La superficie es de 32 cuadrados. La superficie es de 33 cuadrados.

Si comparamos los ángulos de inclinación de la hipotenusa respecto de la base de los triángulos rojo y azul vemos que son distintos. En el triángulo rojo el ángulo es:


   \tan (\alpha_{ro}) =
   \frac{3}{8}
   \; \longrightarrow \quad
   \alpha_{ro} =
   20^\circ 33^{\prime} 21.76^{\prime\prime}

mientras que en el azul es:


   \tan (\alpha_{az}) =
   \frac{2}{5}
   \; \longrightarrow \quad
   \alpha_{az} =
   21^\circ 48^{\prime} 5.05^{\prime\prime}

y en el triangulo total es:


   \tan (\alpha_{T}) =
   \frac{5}{13}
   \; \longrightarrow \quad
   \alpha_{T} =
   21^\circ 2^{\prime} 15.04^{\prime\prime}
Paradoja del cuadrado perdido 10.svg Paradoja del cuadrado perdido 11.svg

Los puntos: (0,0), (5,2), (8,3) y (13,5) no están alineados, si bien la diferencia es pequeña, las dos figuras representadas son cuadriláteros, no un triangulo, el ángulo en (5,2) es cóncavo y el de (8,3) convexo y la diferencia de superficie entre las dos figuras es el cuadrado que supuestamente aparece en la parte inferior.

Si desde el punto (0,0) trazamos los tres ángulos prolongando las rectas la diferencia geométrica es muy evidente.

La solución[editar]

Esta diferencia puede parecer pequeña en espesor, pero dada su longitud, su superficie es igual a un cuadrado unitario.

Missing square puzzle animation.gif

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]