Número poligonal

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Números poligonales
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Los cuatro primeros tipos de números poligonales: números triangulares, cuadrangulares, pentagonales y hexagonales

En matemáticas, un número poligonal es un número natural que puede recomponerse en un polígono regular. Los matemáticos de la Antigüedad descubrieron que los números podían disponerse con ciertas formas cuando los representaban mediante piedras o semillas.

Números poligonales[editar]

El número 10 puede recomponerse como un triángulo (véase número triangular):

*
**
***
****

Sin embargo, el 10 no puede formar un cuadrado, pero el 9 sí (véase número cuadrado):

***
***
***

Algunos números, como el 36, pueden recomponerse tanto en un cuadrado como en un triángulo (véase número cuadrado triangular):

******
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********

El método empleado para agrandar el polígono hasta el siguiente tamaño es extender dos brazos adyacentes por un punto y luego añadir los lados extra requeridos entre los puntos.

Fórmulas[editar]

Un número s-gonal se puede descomponer en s−2 números triangulares y en un número natural

Si s es el número de lados de un polígono, la fórmula para el n-ésimo número s-gonal P(s,n) es

o

El n-ésimo número s-gonal también está relacionado con los números triangulares Tn de la siguiente manera:

Por lo tanto:

Para un número s-gonal dado P(s,n) = x, se puede encontrar n mediante la fórmula

y a su vez se puede encontrar s calculando

.

Cada número hexagonal es también un número triangular[editar]

Aplicando la fórmula anterior:

al caso de 6 lados, se obtiene:

pero sabiendo que:

resulta:

Esto demuestra que el n-'esimo número hexagonal P(6,n) es también el (2n − 1)-ésimo número triangular T2n−1. Se puede determinar la secuencia de los números hexagonales simplemente tomando los números triangulares impares:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

n-ésimo número poligonal[editar]

Si es el número de lados de un polígono, entonces la fórmula para el -ésimo número poligonal de lados es .

Nombre Fórmula n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Triangular ½n(1n + 1) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91
Cuadrado ½n(2n - 0) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Pentagonal ½n(3n - 1) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247
Hexagonal ½n(4n - 2) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325
Heptagonal ½n(5n - 3) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403
Octagonal ½n(6n - 4) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481
Nonagonal ½n(7n - 5) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559
Decagonal ½n(8n - 6) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637
11-agonal ½n(9n - 7) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715
12-agonal ½n(10n - 8) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672 793
13-agonal ½n(11n - 9) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871
14-agonal ½n(12n - 10) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671 804 949
15-agonal ½n(13n - 11) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 726 870 1027
16-agonal ½n(14n - 12) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 781 936 1105
17-agonal ½n(15n - 13) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 1002 1183
18-agonal ½n(16n - 14) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 891 1068 1261
19-agonal ½n(17n - 15) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 1134 1339
20-agonal ½n(18n - 16) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 1200 1417
21-agonal ½n(19n - 17) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 1056 1266 1495
22-agonal ½n(20n - 18) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 1332 1573
23-agonal ½n(21n - 19) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 1166 1398 1651
24-agonal ½n(22n - 20) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 1221 1464 1729
25-agonal ½n(23n - 21) 1 25 72 142 235 351 491 652 837 1045 1276 1530 1807
26-agonal ½n(24n - 22) 1 26 75 148 245 366 511 680 873 1090 1331 1596 1885
27-agonal ½n(25n - 23) 1 27 78 154 255 381 532 708 909 1135 1386 1662 1963
28-agonal ½n(26n - 24) 1 28 81 160 265 396 553 736 945 1180 1441 1728 2041
29-agonal ½n(27n - 25) 1 29 84 166 275 411 574 764 981 1225 1496 1794 2119
30-agonal ½n(28n - 26) 1 30 87 172 285 426 595 792 1017 1270 1551 1860 2197

Propiedades[editar]

La siguiente tabla incluye algunas propiedades de las series definidas por los números poligonales. Son especialmente relevantes los resultados de la suma de los inversos de los números poligonales . Los primeros 6 valores en la columna "suma de inversos", para números triangulares a octagonales, provienen de una solución publicada al problema general, que también da una fórmula general para cualquier número de lados, en términos de la función digamma.[1]

s Nombre Fórmula Suma de los inversos[1][2] número OEIS
3 Triangular 1/2(n2 + n) [[1]​] A000217
4 Cuadrado 1/2(2n2 - 0n)
= n2
π2/6 [[1]​] A000290
5 Pentagonal 1/2(3n2 - n) 3 ln 3 - π3/3 [[1]​] A000326
6 Hexagonal 1/2(4n2 - 2n)
= 2n2 - n
2 ln 2 [[1]​] A000384
7 Heptagonal 1/2(5n2 - 3n)  [[1]​] A000566
8 Octagonal 1/2(6n2 - 4n)
= 3n2 - 2n
3/4 ln 3 + π3/12 [[1]​] A000567
9 Nonagonal 1/2(7n2 - 5n) A001106
10 Decagonal 1/2(8n2 - 6n)
= 4n2 - 3n
ln 2 + π/6 A001107
11 Hendecagonal 1/2(9n2 - 7n) A051682
12 Dodecagonal 1/2(10n2 - 8n) A051624
13 Tridecagonal 1/2(11n2 - 9n) A051865
14 Tetradecagonal 1/2(12n2 - 10n) 2/5 ln 2 + 3/10 ln 3 + π3/10 A051866
15 Pentadecagonal 1/2(13n2 - 11n) A051867
16 Hexadecagonal 1/2(14n2 - 12n) A051868
17 Heptadecagonal 1/2(15n2 - 13n) A051869
18 Octadecagonal 1/2(16n2 - 14n) 4/7 ln 2 - 2/14 ln (3 - 22) + π(1 + 2)/14 A051870
19 Enneadecagonal 1/2(17n2 - 15n) A051871
20 Icosagonal 1/2(18n2 - 16n) A051872
21 Icosihenagonal 1/2(19n2 - 17n) A051873
22 Icosidigonal 1/2(20n2 - 18n) A051874
23 Icositrigonal 1/2(21n2 - 19n) A051875
24 Icositetragonal 1/2(22n2 - 20n) A051876
... ... ... ... ...
10000 Myriagonal 1/2(9998n2 - 9996n) A167149

El OEIS evita los términos que usan prefijos griegos (por ejemplo, "octagonal") en favor de términos que usan números (es decir, "8-gonal").

Una propiedad de esta tabla se puede expresar mediante la siguiente identidad (consúltese A086270):

con

Números multipoligonales[editar]

Algunos números, como el 36, que es tanto cuadrado como triangular, pertenece a dos conjuntos de números poligonales. El problema de determinar, dados dos conjuntos de este tipo, todos los números que pertenecen a ambos se puede resolver reduciendo el problema a una ecuación de Pell. El ejemplo más simple es la secuencia de números cuadrados triangulares.

La siguiente tabla resume el conjunto de números s-gonales t-gonales para valores pequeños de s y t.

s t Secuencia Número OEIS
4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... A001110
5 3 1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, … A014979
5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... A036353
6 3 Todos los números hexagonales también son triangulares. A000384
6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ... A046177
6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180
7 3 1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, … A046194
7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, … A036354
7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900
7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903
8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183
8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … A036428
8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189
8 6 1, 11781, 113123361, … A046192
8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906
9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909
9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ... A036411
9 5 1, 651, 180868051, … A048915
9 6 1, 325, 5330229625, … A048918
9 7 1, 26884, 542041975, … A048921
9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924

En algunos casos, como s = 10 y t = 4, no hay números en ambos conjuntos distintos del 1.

El problema de encontrar números que pertenezcan a tres conjuntos poligonales es más difícil. Una búsqueda por computadora de números triangulares cuadrados pentagonales ha arrojado solo el valor trivial de 1, aunque aún no se ha encontrado una prueba de que no exista algún número que pueda pertenecer a las tres clases.[3]

El número 1225 es hecatonicositetragonal (s = 124), hexacontagonal (s = 60), icosienneagonal (s = 29), hexagonal, cuadrado y triangular.

El único conjunto poligonal que está contenido completamente en otro conjunto poligonal es el conjunto de números hexagonales, que está contenido en el conjunto de números triangulares.[cita requerida]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b c d e f g h «Archived copy». Archivado desde el original el 15 de junio de 2011. Consultado el 13 de junio de 2010. 
  2. Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers
  3. Weisstein, Eric W. «Pentagonal Square Triangular Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

Bibliografía[editar]

  • The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [ISBN 0-14-026149-4] (en inglés).